Sia $F: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}^2$ il campo vettoriale definito da
$$
F(x, y)=\left(e^{-3 x y}\left(2 x-3 x^2 y\right),-3 x^3 \mathrm{e}^{-3 x y}\right)
$$
e sia $\gamma(t)=(t,(4 / \pi) \arctan t)$, con $0 \leq t \leq 1$. Il lavoro compiuto da $F$ lungo $\gamma$ vale
A) $-2+\tan e^{-3}$
B) 0
C) $e^{-3}$
D) $\pi$
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Sono riuscito a dedurre la soluzione esatta ma non riesco a risolverlo velocemente ed efficacemente
8
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Livello 0
Dato il campo vettoriale
\[F(x, y) = (-3ye^{3x - 3y^2}, -3x^2e^{3x - 3y^2})\,,\]
e la curva
\[\gamma(t) = \left(t, \frac{1}{4} \arctan t\right) \mid 0 \leq t \leq 1\,,\]
si ha
\[L = \int_{\gamma} F \cdot d\mathbf{r} \quad \text{tale che}\]
\[\gamma(t) = \left(t, \frac{1}{4} \arctan t\right)\]
\[\gamma'(t) = \left(1, \frac{1}{4(1 + t^2)}\right)\]
\[F(\gamma(t)) = F\left(t, \frac{1}{4} \arctan t\right)\]
\[F\left(t, \frac{1}{4} \arctan t\right) = \left(-3 \cdot \frac{1}{4} \arctan t \cdot e^{3t - \frac{3}{16} (\arctan t)^2}, -3t^2 \cdot e^{3t - \frac{3}{16} (\arctan t)^2}\right)\]
\[F(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) = \left(-\frac{3}{4} \arctan t \cdot e^{3t - \frac{3}{16} (\arctan t)^2}\right) \cdot 1 + \left(-3t^2 \cdot e^{3t - \frac{3}{16} (\arctan t)^2}\right) \cdot \frac{1}{4(1 + t^2)}\,.\]
Semplificando:
\[F(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) = -\frac{3}{4} e^{3t - \frac{3}{16} (\arctan t)^2} \left(\arctan t + \frac{t^2}{1 + t^2}\right)\,.\]
Allora
\[L = \int_{0}^{1} -\frac{3}{4} e^{3t - \frac{3}{16} (\arctan t)^2} \left( \arctan t + \frac{t^2}{1 + t^2} \right) dt\,.\]
Per simmetria del campo vettoriale, la risposta è la $C)\,$.
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Livello 5
@enrico_bufacchi mi dispiace ma ho la soluzione è l'assoluzione coretta è la C.
Ma non saprei ricavarci con certezza e in modo veloce
Ciao @ivan_angel,
volevo dire risposta $C)$, grazie per avermelo fatto notare. Un altro metodo potrebbe essere calcolare il potenziale scalare e ricavare l'espressione del lavoro lungo la curva.
