[Risolto] Esercizio di fisica

Lunghezza propria misurata da chi è solidale al razzo:

Lo = 150 m;

velocità della luce c = 3 * 10^8 m/s.

Delta to = 150 / c = 150 / (3 * 10^8) = 5 * 10^-7 s;

Per l'osservatore sulla stazione il razzo risulta contratto:

L = Lo * radice(1 - v^2/c^2)

L = 150 * radice[1 - (0,6c)^2/c^2 ] = 150 * radice(1 - 0,36);

L = 150 * radice(0,64) = 150 * 0,8 = 120 m;

radice(1 - v^2/c^2) = 1/gamma = 0,8.

trasformazioni di Lorentz:

t = (t' + v * x'/c^2) / radice(1 - v^2/c^2)

Tempo misurato dalla stazione:

Delta t = [Delta to + v *  Delta x'/c^2] / radice(1 - v^2/c^2);

Delta t = [5 * 10^-7 + 0,6 * c * 150 /c^2] / 0,8;

Delta t = [5 * 10^-7 + 0,6 * 150 / 3 * 10^8] / 0,8;

Delta t = 8 * 10^-7 / 0,8 = 1 * 10^-6 s, (1 microsecondo).

Distanza dalla stazione della coda del razzo dopo t = 1 * 10^-6 s:

x = 0,6 * 3 * 10^8 * 1 * 10^-6 = 180 m;

La prua si trova a distanza x1 dalla stazione:

x1 = x + L = 180 + 120 = 300 m = 3 * 10^2 m.

Recondo i postulati di Einstein la luce possiede velocità c rispetto al sistema di riferimento solidale al razzo Quindi secondo questo sistema la luce raggiunge la prua del razzo in un tempo
$$
\Delta t^{\prime}=\frac{L_{0}}{c}=\frac{150}{3 \cdot 10^{8}}=5 \cdot 10^{-7}
$$
dove $L_{0}$ è la lunghezza del razzo nel sistema di riferimento a esso solidale (lunghezza propria)
occorre usare le TdL complete
$$
\Delta t=t_{2}-t_{1}=\frac{t_{2}^{\prime}+(\beta / c) x_{2}^{\prime}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}-\frac{t_{1}^{\prime}+(\beta / c) x_{1}^{\prime}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\frac{\Delta t^{\prime}+(\beta / c) \Delta x^{\prime}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}
$$
Sostituiamo i dati:
$$
\Delta t=\frac{\Delta t^{\prime}+(\beta / c) \Delta x^{\prime}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\frac{5 \cdot 10^{-7}+\left(0.6 / 3 \cdot 10^{8}\right) \cdot 150}{\sqrt{1-0.6^{2}}}=1 \cdot 10^{-6}
$$
contratto e poi occorre calcolare quanto spazio ha fatto il razzo in $1 \mu \mathrm{s}$ La lunghezza del razzo osservata è:
$$
L=L_{0} \sqrt{1-\beta^{2}}=150 \cdot \sqrt{1-0.6^{2}}=150 \cdot 0.8=120 \mathrm{~m}
$$
E la poppa del razzo, in $1 \mu \mathrm{s}$, ha percorso lo spazio:
$x_{1}=v \cdot \Delta t=0.6 \cdot 3 \cdot 10^{8} \cdot 1 \cdot 10^{-6}=180 \mathrm{~m}$

Quindi in totale la prua del razzo dista dalla stazione spaziale 300 m. Notare che allo stesso risultato si arriva moltiplicando la velocità della luce c con l'intervallo di tempo osservato Δt in accordo con i postulati di Einstein.