[Risolto] Esercizio di Cinematica

Partendo dall'accelerazione, che per comodità scrivo per componenti come:

$\overrightarrow{a(t)}=(kt^2,0)$

andiamo ad integrare rispetto al tempo per ottenere la velocità:

$\overrightarrow{v(t)}=(k\frac{t^3}{3}+c_1,0+c_2)$

per determinare le due costanti arbitrarie, poniamo poniamo per $t=0$, $v(0) = v \overrightarrow{j}$:

$\overrightarrow{v(0)}=(c_1, c_2) = (0, v)$

dunque possiamo scrivere che 

$\overrightarrow{v(t)}=(k\frac{t^3}{3}, v)$

Integriamo di nuovo per trovare lo spostamento:

$\overrightarrow{s(t)}=(k\frac{t^4}{12}+c_1, vt+c_2)$

come prima ponendo $s(0) = (0,0)$ otteniamo:

$\overrightarrow{s(t)}=(k\frac{t^4}{12}, vt)$

Per trovare l'ascissa, poniamo l'ordinata pari ad h:

$ vt = h$ da cui $t = \frac{h}{v}$

e sostituiamo il valore trovato di $t$ nell'ascissa:

$ x = k\frac{(h/v)^4}{12} = \frac{kh^4}{12v^4}$

Noemi

Prescindendo dalla profonda ignoranza dell'autore del testo ("in assenza di gravità" non esistono né "verticale" né "altezza") si può risolvere l'essenza dell'esercizio mascherata dalle stupidaggini della narrativa.
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In un riferimento Oxy ortogonale e monometrico un punto materiale ha, all'istante t = 0,
* accelerazione (0, 0)
* velocità (0, V)
* posizione (0, 0)
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Sull'asse y, ha
* vy(t) = V
* y(t) = ∫ vy(t)*dt = V*t + y(0) = V*t
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Sull'asse x ha
* accelerazione a(t) = k*t^2
* velocità = vx(t) = ∫ a(t)*dt = k*t^3/3 + vx(0) = (k*t^3/3, 0)
* x(t) = ∫ vx(t)*dt = k*t^4/12 + x(0) = k*t^4/12
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All'istante T > 0 si ha
* y(T) = V*T = h ≡ T = h/V
* x(T) = k*T^4/12 = k*(h/V)^4/12 = (k/12)*(h/V)^4
che è proprio il risultato atteso.