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Esercizio del campo magnetico in funzione del tempo

  

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Un circuito circolare di raggio $a=10 cm$, resistenza $R =0.9 \Omega$ e induttanza $L =360 mH$, si trova nel vuoto in una regione sede di un campo magnetico uniforme (vedi figura), ortogonale al piano della spira, che ha il seguente andamento temporale:
$B ( t )= B _{0}(1- kt )$ per $0 \leq t \leq 4 s , B _{0}=1 T , k =0.25 s ^{-1}$.
Per $(t>4 s)$ il campo magnetico esterno si annulla.
Determinare:
a) il valore e il verso della corrente indotta i(t) nella spira in funzione del tempo, facendone il grafico;
b) il valore del campo magnetico B al centro della spira in funzione del tempo;
c) l'energia dissipata sulla resistenza e l'energia immagazzinata sull'induttanza dopo $0.2 s$.

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Ti dò solo le indicazioni generali

 

a) Phi(B) = Bo(1 - kt) * pi a^2

e(t) = - pi a^2 Bo d/dt ( 1 - k t ) = k pi Bo a^2 = e0 per 0 <= t <= 4 s

e(t) = 0 per t >= 4s

Scriverai dunque e0 = R i + L di/dt

Quindi i(t) = e0/R + C e^(-R/L) t per 0 <= t <= 4s

in cui deve essere, imponendo la condizione iniziale

i(0+) = i(0-) = 0, non c'é sorgente per t < 0,

0 = eo/R + C

i(t) = e0/R ( 1 - e^(- R/L t) ) per 0 <= t <= 4

e per continuità

i(t) = eo/R ( 1 - e^(-R/L) * 4) * e^(-R/L t)

Il grafico ha quindi andamento analogo a quello della carica del condensatore ( incompleta )

fino a t = 4s e poi esponenziale decrescente per t > 4s con costante di tempo L/R

b) il campo al centro della spira é Bo + Bi ( campo generato dalla corente i che circola nella spira )

c) ER = S_[0,0.2] R i^2(t) dt con i data dall'espressione valida in [0;4]

EL = 1/2 L i^2(0.2)

@eidosm 👍👍👍



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SOS Matematica

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