[Risolto] Esercizio costruisci grafico

Per capire se la funzione è invertibile devi guardare la linea del grafico: se oscilla in alto e in basso una o più volte, allora la funzione non è invertibile. Se non è presente nessuna oscillazione la funzione è invertibile (i termini non sono proprio matematici ma è per farti capire).

Quindi per prima cosa ti trovi le condizioni di esistenza: x minore o uguale di 1/2. Poi disegni il grafico in quella parte del piano cartesiano (allegato).

Non essendoci oscillazioni, la funzione è invertibile.

Se il tuo dubbio è su come disegnare il grafico rispondimi e ti spiego come fare.

Per costruire il grafico di una funzione devi effettuarne lo studio: zeri, derivata prima, derivata seconda, asintoti (orizzontali, verticali e obliqui), punti di non derivabilità e punti di massimo e di minimo locali. Se non hai studiato alcune di queste cose fa niente, l'importante è sapere il concetto di derivata e di limite e saper trovare gli zeri. Se non sai neanche che cos'è la derivata è abbastanza difficile capire come fare un grafico di questa funzione.

Per prima cosa trovi gli zeri: l'unico zero è x=0.

Ora ti calcoli la derivata prima: 1/sqrt(1-2x). La derivata prima è sempre positiva nel dominio, quindi non ci sono punti di massimo o di minimo locale; tende all'infinito quando x tende a 1/2; tende a 0 quando x tende a -inf.

L'unico punto non derivabile è il punto x=1/2, per cui calcoli il valore della funzione in 1/2: f(1/2)=1. Questo è il punto di massimo assoluto.

Poi ti calcoli la derivata seconda: 1/(sqrt(1-2x)*(1-2x)). La derivata seconda è sempre positiva; tende a 0 quando x tende a -inf; tende all'infinito quando x tende a 1/2.

Non ci sono asintoti orizzontali nè verticali nè obliqui e la funzione tende a -inf quando x tende a -inf.

Conclusioni:

La funzione non esiste per x>1/2; il punto di massimo è il punto (1/2,1); l'unico zero è x=0; la funzione è positiva per 0<x<1/2 e negativa per x<0. La funzione è crescente, così come la derivata, quindi, all'aumentare del valore della x, aumenta anche la pendenza della retta. La funzione tende a -inf per x tendente a -inf.

A questo punto basta disegnare un grafico che rispetti queste condizioni.