[Risolto] Problema di fisica su un circuito

Facendo riferimento alla figura seguente, in cui è indicato il verso di $i(t)$ quando l'interruttore si posiziona su $1$, si sa che:

la carica sul condensatore segue la seguente legge:

$Q(t)=CV(1-e^{-\frac{t}{RC}})$

e di conseguenza:

$i(t)=\frac{V}{R}e^{-\frac{t}{RC}}=0.05217e^{-579.71t}$

Quindi immediatamente dopo la chiusura, ovvero al tempo $t=0^+$, il valore della corrente vale 

$i(0^+)=\frac{V}{R}=12/230=52.17$ $mA$

b) 

affinchè la corrente diventi la metà è necessario che

$e^{-579.71t^*}=0.5$ ovvero

$-579.71t^*=ln(0.5)$

cioè

$t^*=-\frac{ln(0.5 )}{579.71}=1.2$ $ms$

c)

va calcolato il tempo $t_1$ per il quale:

$e^{-579.71t_1}=0.25$ ovvero

$-579.71t_1=ln(0.25)$

cioè

$t_1=-\frac{ln(0.25 )}{579.71}=2.4$ $ms$

Quindi il tempo intercorso è $\Delta t = t_1-t^*=2.4-1.2=1.2$ $ms$

d) quando l'interruttore passa da $1$ a $2$ essendo il consdensatore carico, il condensatore stesso funge da "generatore" e tramite la sua differenza di potenziale mette in moto le cariche all'interno del circuito composto dal condensatore stesso e dalla resistenza  $R_2$. Nel fare ciò la carica inizialmente immagazzinata nel condensatore tende a diminuire (il condensatore si scarica) e l'energia elettrostatica immagazzinata nel condensatore stesso tende anch'essa a diminuire e si trasforma in energia termica (calore) dissipata sulla resistenza $R_2$. Nel circuito esternamente al condensatore è presente una corrente di conduzione mentre all'interno del condensatore tale corrente diventa corrente di spostamento, ovvero una variazione temporale di campo elettrico presente tra le armature del condensatore stesso. Per una trattazione "formulosa" ti invito a prendere un libro di fisica e leggerlo :).

e)

il 36.8% significa che l'esponeziale è diventato $e^{-1}$ ovvero è passato un tempo pari esattamente alla costante di tempo $\tau=R_2C$

Quindi 

$\tau=R_2C=1500*7.5*10^{-6}=11.25 ms$

f) 

questa domanda è separata da tutte quelle precedenti, si tratta soltanto di calcolare la resistenza equavalente di un circuito a 2 maglie, in cui le resistenze $R_2$ ed $R_3$ vengono a trovarsi in parallelo:

$R_{2-3}=\frac{R_2 R_3}{R_2+R_3}= \frac{1500*500}{2000}=375 \Omega$

Questa resistenza si trova in serie a $R_1$ e quindi

$R_{eq}=R_1+R_{2-3}=605 \Omega$

La corrente attraverso la batteria risulta pertanto:

$I=12V/R_{eq}=12V/605 \Omega= 19.83$ $mA$

Considera il circuito raffigurato, in cui il condensatore avente capacità C = 7,5μF è inizialmente scarico. Il contatto "a" viene spostato sul contatto 1

a. Calcola l'intensità di corrente io che fluisce immediatamente dopo la chiusura del circuito, giustificando le ipotesi fatte.

io = V/R1 = 12.000/230 = 52,2 mA (al tempo t = 0 , C è un "buco nero")

 
b. Determina l'intervallo di tempo t durante il quale l'intensità di corrente passa da io a io/2.

0,5 = e^-k

k = -(ln 0,5) = 0,693 = t/R1*C

..(R1*C è la costante di tempo pari a  230*7,5*10^-6 =0,00173 sec )

t = 0,693*0,00173 = 0,00120 sec (1,2 msec)  

c. Quanto tempo t' trascorre prima che l'intensità di corrente si dimezzi nuovamente?

0,25 = e^-k

k = -(ln 0,25) = 1,386 = t'/R1C

t' = 1,386*0,00173 = 0,00239 sec (2,4 msec)  

Quando il condensatore è carico, il contatto "a" viene spostato sul contatto 2.
d. Spiega i fenomeni che hanno luogo successivamente al contatto tra "a" e "2" (sia nel filo conduttore, sia fra le armature del condensatore, ragionando anche su concetti legati alla circuitazione di campi magnetici e alle correnti di spostamento).

il condensatore è caricato a 12V e determina il fluire di una corrente iniziale io' in R2 pari a 12/1,5 = 8,0 mA

 e. Determina in quanto tempo t2 la corrente che fluisce in R2 è pari al 36,8% di io' (percentuale particolare, legata a quale parametro
fisico?)

0,368 = e^-k

k = -ln 0,368 = 1,000 = t/T'

...(dove la costante di tempo T' = R2*C = 7,5*1,5*10^-3 = 11,25 msec

il tempo t2 è pari alla costante di tempo T' 

f. Ipotizza, infine, di mettere, al posto del condensatore, una terza resistenza R3 = 500Ω e che il commutatore diventi un nodo (3
fili che si collegano). Valuta la corrente ir che passerebbe attraverso la batteria di 12 V

Req = 230+500//1500 = 230+50*150/20 = 230+150*2,5 = 605 ohm

ir = 12.000/605 = 19,8 mA