Un generatore di forza elettromotrice pari a $f_{e m}=30 \mathrm{~V}$ è connesso in serie a una resistenza $R=5 \mathrm{k} \Omega$ e a un con condensatore di capacità $C=8 \mu \mathrm{F}$. Un interruttore chiude circuito all'istante $t=0 \mathrm{~s}$.
- Calcola quante costanti di tempo sono necessarie affinché l'energia immagazzinata nel condensatore sia un terzo della energia finale immagazzinata.
Io ho provato a farlo così, potete dirmi se è giusto?
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Livello 0
Energia finale immagazzinata nel condensatore:
Uf = 1/2 C V^2 ; V = Q/C;
Uf = 1/2 Q^2 / C;
tau = RC = 5 * 10^3 * 8 * 10^-6 = 4 * 10^-2 s; costante di tempo.
Qmax = Vf * C = 40 * 8 * 10^-6 = 320 * 10^-6 = 3,2 * 10^4 C.
1/3 dell'energia totale è :
U = 1/6 C (Vf)^2
1/6 C (Vf)^2 = 1/2 [Q(t)]^2 / C
Q(t) = Vf * C *[1 - e^(-t/RC)]; ;
1/6 C (Vf)^2 = 1/2 (Vf)^2 * C^2 *[1 - e^(-t/RC)]^2 /C;
1/3 = 1/2 * [1 - e^(-t/RC)]^2;
2/3 = [1 - e^(-t/RC)]^2;
[1 - e^(-t/RC)] = radice(2/3);
e^(-t/RC) = 1 - radice(2/3);
- t/RC = ln[1 - radice(2/3)];
t / RC = - ln(0,1835);
t = -(- 1,696) * RC;
t = 1,7 * RC;
t = 1,7 * tau;
t = 1,7 * 4 * 10^-2 = 6,8 * 10^-2 s.
Hai messo 1/3 dalla parte sbagliata dell'equazione.
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Genius II
@dalia_fasano perché mi voti negativamente? Che cosa non ti va bene?
Ƭ = R*C = 5*10^3*8*10^-6 = 0,04 sec
k = √1/3 = √3 / 3
V = kVo = 0,5774 V
0,5774 =1- e^-k
ln (1-0,5774) = k
k = 0,4226 = t/Ƭ
0,4226 = 25*t
t = 0,4226 / 25 = 0,0169 sec
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Genius III
Se consideri che
E = v + RC dv/dt
v(0) = vo
allora v(t) = E + (vo - E) e^(-t/RC)
e se il condensatore parte scarico vo = 0
v(t) = E (1 - e^(-t/tau) ) * 1(t)
e 1/2 C v^2 = 1/3 *1/2 C E^2
(1 - e^(-t/tau))^2 = 1/3
1 - e^(-t/tau) = 1/rad(3)
e^(-t/tau) = 1 - 1/rad(3)
- t/tau = ln [(rad(3) - 1)/rad(3)]
t/tau = ln [ rad(3)(rad(3)+1)/(3 - 1)] = ln ((3+rad(3))/2) = 0.861
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Livello 7
@EidosM Ma così trascuri completamente il quesito!
NO, NON PUO' ESSERE GIUSTO ALCUN RISULTATO DETERMINATO per nessun problema indeterminato.
La soluzione corretta di un problema indeterminato dev'essere parametrica.
Per il testo così com'è pubblicato la soluzione corretta dev'essere parametrata dalla carica iniziale Q(0), col suo segno, su un'armatura indicata.
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Genius I
