Una semicirconferenza di raggio $r$ ha centro O e diametro $A B$. Considera il punto $P$ su $\widetilde{A B}$ e la sua proiezione R sulla tangente alla semicirconferenza in $B$. Dimostra che $P B$ è bisettrice di $O \widehat{P} R$. Individua poi $P$ in modo che sia massima l'area del quadrilatero $O P R B . \quad\left[\right.$ posto $O \widehat{P} B=x, x=\frac{1}{2} \arccos \frac{\sqrt{3}-1}{2}]$
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Livello 0
Ciao. Facciamo riferimento alla semicirconferenza di centro O(0,0) e raggio 1:
y = √(1 - x^2)
ottenuta a partire dalla circonferenza x^2 + y^2 = 1 e risolvendola rispetto ad y. (in definitiva la parte superiore della circonferenza completa). Facciamo quindi riferimento alla figura allegata.
Gli angoli interessati sono α,β,δ. Bisogna dimostrare che α = β.
Il triangolo OPB è isoscele con lati obliqui OP=OB= r=1. Quindi α =δ
ma β=δ perché angoli alterni interni per costruzione. Quindi, per la proprietà transitiva delle eguaglianze deve risultare α = β. Quindi abbiamo verificato la prima parte del problema.
Quindi, senza modificare quanto richiesto ho chiamato α anziché x ed ho posto r=1.
Il quadrilatero OPRB è un trapezio come risulta in figura. Adesso mi stoppo perché sono stanco. Riprendo più tardi.
Riprendo.
Il trapezio che ottengo ha altezza pari al valore della funzione: y = √(1 - x^2)
Le basi sono 1 - x ed 1 (oppure r)
L'area del trapezio si ottiene: semisomma delle basi per altezza
(1 + 1 - x)/2·√(1 - x^2)-------->(2 - x)·√(1 - x^2)/2 =a(x)
determino il valore di x per cui l'area è massima:
C.N. a'(x)=0------->(2·x^2 - 2·x - 1)/(2·√(1 - x^2)) = 0 ottengo:
x = - (√3 - 1)/2 ∨ x = √3/2 + 1/2 scarto il secondo perché maggiore di 1.
Quindi per x = - (√3 - 1)/2 = -0.3660254037 si ha il max dell'area
Per verificare che è un max basta analizzare il segno della derivata:
a'(x)>0 se -1 < x < - (√3 - 1)/2
a'(x)<0 se - (√3 - 1)/2 < x < 1
che conferma il max.
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Genius II
