Esercizio continuità e derivabilitá

$f(x)= \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x})\ se\ x \neq 0 \\ 0\ se\ x = 0 \end{cases}$

$\textbf{a.}$
Per dimostrare la continuità di $f(x)$ in $x=0$ è sufficiente dimostrare che $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$, dato che $f(0)=0$ per definizione, più precisamente è necessario dimostrare che $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0=  \lim_{x \to 0^+} f(x)$. Procediamo:

Possiamo dimostrare l'esistenza del limite osservando che $-1 \leq \sin(\frac{1}{x}) \leq 1$ per $x \neq 0$, quindi possiamo moltiplicare tutti i membri della disuguaglianza per $x^2$ ottenendo: $-x^2 \leq x^2\sin(\frac{1}{x}) \leq x^2$. Per il teorema dei carabinieri, possiamo applicare il limite ad ogni membro della disuguaglianza ricavando che $\lim_{x \to 0} -x^2 \leq \lim_{x \to 0} f(x) \leq \lim_{x \to 0} x^2$, da cui $0 \leq \lim_{x \to 0} f(x) \leq 0$, dunque $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$.

$\textbf{b.}$

Calcoliamo $f'(x)$ utilizzando la regola del prodotto e la regola della catena:

$f'(x) = 2x\sin(\frac{1}{x})- x^2 \cos(\frac{1}{x}) \frac{1}{x^2}=2x \sin(\frac{1}{x})-\cos(\frac{1}{x})$

Il limite $\lim_{x \to 0} f'(x)$ non esiste per il semplice fatto che si può dimostrare analogamente ad $\textbf{a.}$ che esiste il limite di $2x\sin(\frac{1}{x})$, mentre invece il limite $\lim_{x \to 0} -\cos(\frac{1}{x})$ non esiste dal momento che $x \to 0 \implies \frac{1}{x} \to \infty$ quindi $\cos(\frac{1}{x})$, posto $t = \frac{1}{x}$, è un limite equivalente a $\lim_{t \to \infty} -\cos(t)$ , che non esiste, perché all'infinito la funzione continua ad oscillare senza approcciare un valore preciso. Puoi dimostrare che il limite non esiste considerando le successioni $2\pi n$ e $(2n+1)\pi$ con $n \in \mathbb{Z}$. Puoi notare che per la prima successione $\cos(2\pi n) = 1\ \forall n \in \mathbb{Z}$, mentre per la seconda $\cos(\pi(2n+1)) = -1\ \forall n \in \mathbb{Z}$. In entrambi i casi, se applichiamo $x \to \infty$ questo non cambia il risultato dell'operazione, dal momento che $x$ assumerà periodicamente valori che coincidono con quelli dell'una e dell'altra successione, in definitiva $f(x)$ alterna tra due valori anche all'infinito senza mai tendere ad un valore in particolare.

$\textbf{c.}$

$f'(0)=\lim_{h \to 0} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h \to 0} \dfrac{(0+h)^2\sin(\frac{1}{0+h})}{h}= \lim_{h \to 0} \dfrac{h^2 \sin(\frac{1}{h})}{h}= \lim_{h \to 0} h \sin(\frac{1}{h})=0$ che si può dimostrare come già fatto in $\textbf{a.}$ essere uguale a $0$.

$\textbf{d.}$

Nonostante la discrepanza nei risultati, la funzione risulta continua e derivabile in $x=0$ per la sua definizione a tratti proprio nel punto $x=0$.