[Risolto] Esercizio calcolo combinatorio (2)

Per la prima richiesta, si calcolano le combinazioni possibili semplici, tale che 

\[\binom{n}{k} = \binom{7}{3} = \frac{7!}{3!(7 - 3)!} = 35\,.\]

Per la seconda richiesta, banalmente

\[\frac{\binom{7}{3}}{2} = 17,5\,.\]

Per la terza richiesta, risolviamo rispetto all'indeterminata $n$

\[\binom{n}{2} = \frac{n!}{2!(n - 2)!} = 20 \quad \text{(in quanto vi sono 2 $\times$10 combinazioni)}\implies\]

\[\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)!}{2!(n - 2)!} = 20 \iff n^2 - 2 = 40\,.\]

Risolvendo l'equazione di secondo grado, si ottiene come valore coerente $n \approx 6,8\,;$ quindi, verificando la relazione precedente:

\[\binom{7}{2} = 21 \qquad \binom{6}{2} = 15\,.\]

Di conseguenza $n = 6\,$.

Se i manichini sono indistinguibili C(7,3) = 35

e durano per 35/2 = 17.5 settimane

10 settimane significa 20 modi

C(n,2) = 20

n(n-1)/2 = 20

n^2 - n - 40 = 0

n = (1 + sqrt(1+160))/2 = 6.84

scegliere fra 6 e 7

C(6,2) = 15

C(7,2) = 21

sei perché con 7 ne resterebbe uno inutilizzato

Postato da: @summerhop

quante vetrine diverse potrà allestire la commessa;

Il numero di vetrine differenti è dato dalle combinazioni semplici di 7 elementi (i maglioni) di classe 3 (i manichini):
$$
C_{7,3}=\binom{7}{3}=\frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3!}=35 .
$$

Postato da: @summerhop

per quante settimane si potranno osservare vetrine diverse supponendo che ogni lunedì e giovedì si rinnovino gli abbinamenti;

Poiché le combinazioni sono 35 e le vetrine cambiano ogni lunedì e giovedì:
$$
35 \text { combinazioni : } 2 \text { vetrine/settimana }=17,5 \text { settimane. }
$$

Quindi si vedranno due vetrine diverse a settimana per le prime 17 settimane; il lunedì della 18-esima settimana viene cambiata la vetrina con l'ultima combinazione disponibile.

Postato da: @summerhop

quanti tipi di maglioni dovrebbe avere a disposizione la commessa, supponendo che un manichino non possa essere utilizzato, per esaurire tutte le combinazioni in 10 settimane.

Bisogna determinare la quantità di $x$ elementi di classe 2 in modo tale che le combinazioni semplici $C_{x, 2}$ siano in tutto 20 (10 settimane per 2 combinazioni a settimana):
$$
\begin{aligned}
& C_{x, 2}=\binom{x}{2}=\frac{x!}{2!(x-2)!}=20 \rightarrow \frac{x(x-1)(x-2)!}{(x-2)!}=40 \rightarrow x^2-x-40=0 \rightarrow \\
& \rightarrow x_1 \simeq-6 \vee x_2 \simeq 7 .
\end{aligned}
$$

Ovviamente l'unica soluzione accettabile è quella positiva.
Con $x=7$ maglioni e 2 manichini si hanno $C_{7,2}=21$ combinazioni; in 10 settimane se ne esauriscono 20, e ne rimane 1 .