[Risolto] Esercizio Analisi sui Limiti

Usando le equivalenze asintotiche abbiamo che:

$(1-cos\frac{1}{\sqrt{n!}}) \approx \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{n!}})^2 = \frac{1}{2n!}$

Inoltre sappiamo che:

$ lim_{n\rightarrow \infty} arctan((n+4)!)= arctan(+\infty)= \pi/2$

Quindi possiamo riscrivere il limite come:

$ lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2(n+2)^n (n+1)! \frac{1}{2n!}}{7n^{n+1}-2^{n+1}+\pi/2}$

Semplificando e tralasciando i termini che non tendono a infinito:

$ lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(n+2)^n (n+1)}{7n^{n+1}-2^{n+1}}$

Metto in evidenza:

$lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^n(1+\frac{2}{n})^n (n+1)}{n^n(7n-\frac{2^{n+1}}{n^n})}$

$lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(1+\frac{2}{n})^n (n+1)}{(7n-\frac{2^{n+1}}{n^n})}$

Il termine $\frac{2^{n+1}}{n^n} \rightarrow 0$ per la gerarchia degli infiniti.

Invece il termine $(1+\frac{2}{n})^n \rightarrow e^2$ per i limiti notevoli, quindi abbiamo:

$lim_{n\rightarrow \infty} \frac{e^2 (n+1)}{7n} = \frac{e^2}{7}$

Noemi

E' abbastanza facile. Al denominatore considero solo il primo addendo perché il secondo va a oo meno rapidamente e il terzo addirittura converge a un valore finito.

Al numeratore, per l'equivalenza asintotica (1 - cos y)~ 1/2 y^2 valida in un intorno di 0, trovi

2(n+2)^n (n+1)!*1/2 *1/n! = (n+2)^n * (n+1)

Complessivamente quindi ti riporti a

1/7 * (n+2)^n/n^n * (n+1)/n

e il limite di questa espressione equivale a quello di 1/7 * (1 + 2/n)^n * 1 =

= 1/7 [(1 + 1/(n/2))^(n/2)]^2 = e^2/7