Determina l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse $x$ che ha vertice $V(12 ;-6)$ e passa per il punto $A(6 ;-12)$ e trova l'equazione della retta tangente alla parabola nel suo punto $P$ di ordinata nulla. $P(x$, of Dimostra che la retta trovata è l'asse del segmento FQ con $F$ fuoco della parabola e Q proiezione di P sulla direttrice.
311
punti
Livello 1
Ho finito la risposta in sospeso. Buonanotte.
Grazie 😉 😉
x = a·y^2 + b·y + c
sistema risolvente:
{- b/(2·a) = -6
{12 = a·(-6)^2 + b·(-6) + c
{6 = a·(-12)^2 + b·(-12) + c
Quindi risolvo:
{b/a = 12
{36·a - 6·b + c = 12
{144·a - 12·b + c = 6
ed ottengo: [a = - 1/6 ∧ b = -2 ∧ c = 6]
quindi la parabola:
x = - y^2/6 - 2·y + 6
Coordinate di P:
{x = - y^2/6 - 2·y + 6
{y = 0
[x = 6 ∧ y = 0]----> P(6,0)
Retta tangente in P con formule di sdoppiamento:
(x + 6)/2 = - 0·y/6 - 2·(y + 0)/2 + 6
x = 6 - 2·y
x + 2·y - 6 = 0
Fuoco F e vertice V della parabola si trovano sull'asse di simmetria orizzontale della parabola:
y = - b/(2·a)------> y = - (-2)/(2·(- 1/6))----> y = -6
Le loro ascisse sono:
x = (1 - Δ)/(4·a) e x = - Δ/(4·a)
con Δ = b^2 - 4·a·c = (-2)^2 - 4·(- 1/6)·6 = 8
x = (1 - 8)/(4·(- 1/6))---> x = 21/2...... F(21/2,-6)
x=x = - 8/(4·(- 1/6))= 12..... V(12,-6) (che sapevamo già)
L'equazione della direttrice, perpendicolare all'asse è:
x = - (1 + Δ)/(4·a) = - (1 + 8)/(4·(- 1/6)) ----> x = 27/2
Il punto P è equidistante dagli estremi e tale distanza vale:
ABS(27/2 - 6) = 15/2 dalla direttrice
√((21/2 - 6)^2 + (-6)^2) = 15/2 dal fuoco:
quindi sull'asse del segmento FQ
115467
punti
Genius III
@lucianop speriamo perchè mi interessava proprio la seconda parte! 😉
