[Risolto] Esercizio 4^itis

@Giacomopappardella 

 

Essendo un vertice in A(3,0) e i fuochi sull'asse y, il secondo vertice ha coordinate ( - 3, 0).

Quindi data l'ellisse di equazione:

(x² / a²) + (y² / b²) = 1

 

con:

b² > a²

e = radice (b² - a²) / b

 

Risulta quindi: a² = 9

 

e= [radice (b² - a²)] /b = radice (2)/2

 

Da cui si ricava:

(b² - 9)/b² = 1/2

b²=18

 

L'equazione dell'ellisse è quindi:

x² /9 + y² /18 = 1

 

Determino ora l'area dei rettangoli aventi perimetro uguale a 20

 

Il generico vertice P del rettangolo inscritto (P appartiene alla conica) ha coordinate:

 

P= (xP , radice  [18*(1 - (xP² / 9))]

0 < xP < 3

 

Vista la simmetria dell'ellisse rispetto agli assi, se vogliamo che il perimetro del rettangolo sia 20, dobbiamo imporre che:

xP + yP = 5

 

La somma dell'ascissa e dell'ordinata di P è 1/4 di perimetro del rettangolo.

Imponendo la condizione si ottiene:

radice (18 - 2*xP²) = (5 - xP)²

3xP² - 10xP + 7 = 0

 

Da cui si ricava: 

xP= 1

xP= 7/3

 

Sostituendo i valori nell'ordinata del punto P ricavo i corrispondenti valori di yP

 

xP=1  ;  yP =4

xP= 7/3 ; yP= 8/3

 

Ovviamente abbiamo quindi due rettangoli di cui possiamo calcolare le superfici.

S1=2*8 = 16

S2=14/3 * (16/3) = 224/9

Con riferimento alla figura possiamo procedere nel seguente modo.

x^2/9 + y^2/18 = 1

La risolviamo in y:

y = - √2·√(9 - x^2) ∨ y = √2·√(9 - x^2)

Sfruttiamo quindi la doppia simmetria della ellisse e concentriamoci nel 1° quadrante:

[x, √2·√(9 - x^2)] con 0 < x < 3 abbiamo quindi un suo punto

perimetro rettangolo richiesto è:

4·x + 4·√2·√(9 - x^2) = 20

quindi risolviamo:

√2·√(9 - x^2) = 5 - x

eleviamo al quadrato:

2·(9 - x^2) = (x - 5)^2

18 - 2·x^2 = x^2 - 10·x + 25

3·x^2 - 10·x + 7 = 0

x = 7/3 ∨ x = 1

quindi nel primo quadrante si ottengono 2 possibilità:

[7/3, √2·√(9 - (7/3)^2)]-------> [7/3, 8/3]

[1, √2·√(9 - 1^2)]--------> [1, 4]

Per cui gli altri punti di figura.