305 Determina $a$ e $b$ in modo che le soluzioni dell'equazione:
$$
x^2+\left(a^2+b^2-3 b-2 a\right) x-2 a-2 b+4=0
$$
abbiano somma uguale $a-1$ e prodotto uguale $a-6$.
$$
\left[(a=3, b=2) \vee\left(a=\frac{3}{2}, b=\frac{7}{2}\right)\right]
$$
mi risolvere l’esercizio 305 che non l’ho capito
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Livello 0
L'equazione quadratica
305) x^2 + (a^2 + b^2 - 3*b - 2*a)*x + (- 2*a - 2*b + 4) = 0
è data già nella forma normale canonica monica
* x^2 - s*x + p = 0
dove
* s = - (a^2 + b^2 - 3*b - 2*a) = somma delle radici
* p = (- 2*a - 2*b + 4) = - 2*(a + b - 2) = prodotto delle radici
quindi non c'è bisogno di nessun calcolo preliminare.
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Le condizioni richieste impongono i vincoli
* (p = - 6) & (s = - 1) ≡
≡ (- 2*(a + b - 2) = - 6) & (- (a^2 + b^2 - 3*b - 2*a) = - 1) ≡
≡ (a + b - 2 = 3) & (a^2 + b^2 - 3*b - 2*a = 1) ≡
≡ (a = 5 - b) & ((5 - b)^2 + b^2 - 3*b - 2*(5 - b) - 1 = 0) ≡
≡ (a = 5 - b) & (2*b^2 - 11*b + 14 = 0) ≡
≡ (a = 5 - b) & (b^2 - (11/2)*b + 7 = 0)
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Il vincolo su "b" è ancora un'equazione quadratica in forma normale canonica monica con
* s = 11/2
* p = 7
da cui
* Δ = s^2 − 4*p = (11/2)^2 − 4*7 = (3/2)^2
* √Δ = 3/2
* B1 = (s - √Δ)/2 = (11/2 - 3/2)/2 = 2
* B2 = (s + √Δ)/2 = (11/2 + 3/2)/2 = 7/2
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CONCLUSIONI
* (a = 5 - B1) & (B1 = 2) oppure (a = 5 - B2) & (B2 = 7/2) ≡
≡ (a, b) = (3, 2) oppure (a, b) = (3/2, 7/2)
da cui
305) x^2 + (3^2 + 2^2 - 3*2 - 2*3)*x + (- 2*3 - 2*2 + 4) = 0 ≡
≡ x^2 + x - 6 = 0
oppure
305) x^2 + ((3/2)^2 + (7/2)^2 - 3*7/2 - 2*3/2)*x + (- 2*3/2 - 2*7/2 + 4) = 0 ≡
≡ x^2 + x - 6 = 0
il che conferma l'unicità delle relazioni di Viète fra radici e coefficienti delle equazioni razionali
http://it.wikipedia.org/wiki/Formule_di_Vi%C3%A8te
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Genius I
Utilizzando le relazioni fra radici e coefficienti x1 + x2 = -B/A e x1*x2 = C/A
{ - (a^2 + b^2 - 3b - 2a ) - 1
{ -2a - 2b + 4 = -6
{ a^2 + b^2 + 2a + 3b = 1
{ a + b = 5
Questo si risolve per sostituzione con b = 5 - a nella prima. Buon lavoro.
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Livello 7
