[Risolto] Esercizio 1

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a)

Altezza relativa all'ipotenusa $h= \sqrt{3,6×6,4} = 4,8\,cm$ (2° teorema di Euclide).

b)

Ipotenusa $ip= 3,6+6,4 = 10\,cm;$

calcoliamo ora i cateti applicando il 1° teorema di Euclide, come segue:

cateto minore $c= \sqrt{10×3,6} = \sqrt{36} = 6\,cm;$

cateto maggiore $C= \sqrt{10×6,4} = \sqrt{64} = 8\,cm;$

per cui:

perimetro $2p= C+c+ip = 8+6+10 = 24\,cm;$

area $A= \dfrac{ip×h}{2} = \dfrac{10×4,8}{2} = 24\,cm^2.$

c)

Il solido generato dalla rotazione intorno all'ipotenusa è formato da due coni con la base combaciante, quindi:

raggio del solido $r= 4,8\,cm;$

i due cateti del triangolo generatore sono gli apotemi dei due coni, cioè:

apotema minore $a_1= 6\,cm;$

apotema maggiore $a_2= 8\,cm;$

l'altezza del solido corrisponde all'ipotenusa, quindi $h= 10\,cm;$

infine:

area totale del solido:

$At= \dfrac{4,8×\cancel2\pi(6+8)}{\cancel2} = 4,8\pi×14 = \dfrac{336}{5}\pi\,cm^2;$

volume $V= \dfrac{4,8^2\pi×10}{3} = \dfrac{384}{5}\pi\,cm^3.$ 

Punto c (come da richiesta)

Area totale=1/2·(2·pi·4.8)·(8 + 6) = 336·pi/5 cm^2 = 211.115 cm^2 (circa)

Volume=1/3·(pi·4.8^2)·(6.4 + 3.6) = 384·pi/5 cm^3 = 241.274 cm^3 (circa)

AH = 3,6 cm;   HB = 6,4 cm;  proiezioni dei cateti AC e CB;

6,4 : CH = CH * 3,6;    2° teorema  di Euclide;

CH = h;

h = altezza relativa all'ipotenusa

h^2 = 6,4 * 3,6;

h = radice(23,04) = 4,8 cm (raggio del cerchio di base dei due coni);

AB = 6,4 + 3,6 = 10 cm;

Area triangolo = AB * CH / 2 = 10 * 4,8 / 2 = 24 cm^2;

AC = radicequadrata(3,6^2 + 4,8^2) = radice(36) = 6 cm; cateto = apotema a2 del cono piccolo;

BC = radicequadrata(10^2 - 6^2) = radice(64) = 8 cm ; cateto = apotema a1 del cono grande;

punto c)

Area laterale cono = Circonferenza * apotema / 2;

Circonferenza = 2 * π * r = 2 π 4,8 = 9,6 π cm;

Area totale = Area laterale1 + Area laterale2;

Area totale = 9,6 π * 8 + 9,6 π * 6 = 134,4 π cm^2;

Area totale = 456,96 cm^2 circa;

HB = 6,4 cm, altezza cono grande;  AH = 3,6 cm, altezza cono piccolo;

Volume cono = Area base * h / 3;

Area base = π * r^2 = π * 4,8^2 = 23,04 π cm^2;

Volume totale = 23,04 π * 6,4 /3 + 23,04 π * 3,6 / 3;

V totale = 23,04 π * (6,4 + 3,6) / 3 = 23,04 π * 10 / 3;

V totale = 76,8 π cm^3;

V totale = 241,152 cm^3 (circa).

Ciao @imbriani_elisabetta

In un triangolo rettangolo ABC (retto in C) le proiezioni p1 e p2 dei cateti sull'ipotenusa AB misurano, rispettivamente, p2 = 6,4 cm e p1 =  3,6 cm. Calcola:

a. la misura CH dell'altezza relativa all'ipotenusa

altezza CH = √p1*p2 = √6,4*3,6 = 4,80 cm (Euclide 1)

b. il perimetro 2p e l'area At del triangolo

cateto c1 = √3,6*(6,4+3,6) = 6,0 cm (Euclide 2)

cateto c2 = √6,4*(6,4+3,6) = 8,0 cm (Euclide 2)

perimetro 2p = c1+c2+p1+p2 = 6+8+10 = 24 cm

area A = c1*c2/2 = 6*8/2 = 24 cm^2

 
c. l'area totale A e il volume V del solido ottenuto dalla rotazione completa del triangolo rettangolo attorno all'ipotenusa.

area del solido A = π*CH*(c1+c2) = 4,80*14*π = 67,20π cm^2 (211,115..)

volume V del solido =π*CH^2*(p1+p2)/3 = 7,68*10*π = 76,8π cm^3 (241,27..)

Misure in mm, mm^2, mm^3.
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1) Punti e segmenti
* (|AH| = p = 64) & (|HB| = q = 36) ⇒
⇒ (|CH| = √(p*q) = h = 48) & (|AB| = p + q = c = 100) ⇒
⇒ (|AC| = √(c*p) = b = 80) & (|BC| = √(c*q) = a = 60)
ed anche
⇒ (|AM| = |BM| = |CM| = c/2 = m = 50), dove M = (A + B)/2
Il baricentro dei cateti G(ab) sta sulla parallela ad AB distante h/2 = 24 da AB
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2) Triangolo rettangolo
* (a, b, c) = (60, 80, 100) = 20*(3, 4, 5)
* perimetro p = (3 + 4 + 5)*20 = 240
* area S = (3*4/2)*20^2 = 2400
Il baricentro della superficie G(S) sulla mediana CM a 1/3 da M e 2/3 da C, quindi distante h/3 = 16 da AB
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Nelle unità dei dati
* p = 24
* S = 24
G(ab) è distante h/2 = 2.4 da AB
G(S) è distante h/3 = 1.6 da AB
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3) Formule di Pappo-Guldino (punto c)
* distanze dei baricentri dall'asse di rotazione
** di G(ab) h/2 = 24
** di G(S) h/3 = 16
* angolo di rotazione completa α = 2*π
* lunghezza della curva rotante L = p - c = 140
* area della superficie rotante S = 2400
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3a) Area della superficie di rotazione: α*L*h/2 = 2*π*140*24 = 6720*π ~= 21111.5
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3b) Volume del solido di rotazione: α*S*h/3 = 2*π*2400*16 = 76800*π ~= 241274.3
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Nelle unità dei dati
3a) α*L*h/2 = 67.20*π ~= 211
3b) α*S*h/3 = 76.800*π ~= 241