Ciao a tutti, chi mi puó verificare questo esercizio? grazie in anticipo.
Dimostrare che presi 22 interi nella progressione aritmetica(sequenza) 1, 5, 9, 13, 17, ..., 157 la somma di almeno due numeri é 162.
La mia soluzione: sia O = {4k + 1 ∈ N+ : 0 <= k <= 39} sia P la funzione che mi restituisce tutti i sottoinsiemi di qualsiasi insieme, ovvero l'insieme delle parti di un insieme;
I = {X ∈ P(O) : |X| = 22} devo verificare che ∀X ∈ I, ∃x, y ∈ X : x + y = 162;
ricordo che x ≠ y. quindi so che (4k + 1) + (4r + 1) = 162 => 2(2k + 2r + 1) = 162 => 2k + 2r + 1 = 81 => 2(k + r) = 80 => k + r = 40.
quindi devo dimostrare che k + r = 40, dove k e r non sono altro che delle posizioni della sequenza.
quindi prendo un insieme B = {x ∈ N+ : 0 <= x <= 39} e prendo C = {S ∈ P(B) : |S| = 22 e ∀x, y ∈ S, x + y = 40} l'insieme C descrive quello che voglio, ora suppongo per assurdo che ci siano dei sottoinsiemi di B con cardinalitá 22 in C in cui x + y ≠ 40;
dichiaro l'insieme D che é l'insieme che contiene gli insiemi di cardinalitá 22 e che non soddisfano la condizione x + y = 40.
sapendo che x + y ≠ 40, allora ho due casi: x + y < 40 e x + y > 40. se x + y < 40 questo significa che prendo i 22 interi positivi piú piccoli che posso prendere e che la loro somma di due di loro sia minore di 40: {1, 2, 3, ..., 20} perché 19 + 20 = 39 che é minore di 40.
ma questo insieme ha cardinalitá 20 e non 22 quindi non é possibile che x + y < 40. se x + y > 40, allora significa che prendendo i 22 interi positivi piú grandi, posso prendere l'insieme {20, 21, ... 39} perché 20 + 19 = 39, ma la cardinalitá di questo insieme é 19 e non 22, quindi per gli assurdo ottenuti, ci sono almeno due numeri in ciascun sottoinsieme di C, x e y tali che x + y = 40.
