[Risolto] Esercizi sull'iperbole (pt. 1)

Ciao!

1) Determina l'equazione dell'iperbole come luogo geometrico dei punti del piano per i quali la differenza delle distanze dai punti A e B ha il valore assegnato.

A(-4;0), B(4;0); 6.

soluzione : (x^2/9-y^2/7=1)

La definizione di ellissi è: la curva in cui tutti i punti hanno una distanza fissata da due punti detti fuochi.

Dal testo del problema capiamo subito che i fuochi sono $A$ e $B$ e la distanza fissata ha valore $6$. 

Prendendo un punto generico dell'iperbole, chiamiamolo $P(x;y)$, allora il testo ci dice che vale la seguente relazione:

$$ |PA-PB| = 6 $$

$ |\sqrt{ (x+4)^2+y^2} - \sqrt{(x-4)^2+y^2}| = 6 $

$ (\sqrt{ (x+4)^2+y^2} - \sqrt{(x-4)^2+y^2})^2 = 36 $

$  (x+4)^2+y^2+(x-4)^2+y^2 - 2 \sqrt{ ( (x+4)^2+y^2) \cdot ( (x-4)^2+y^2 )} = 36 $

$ 2x^2 +2y^2 -4 = 2 \sqrt{ ( (x+4)^2+y^2) \cdot ((x-4)^2+y^2 )} $

$ x^2+y^2-2 = \sqrt{ ( (x+4)^2+y^2) \cdot ( (x-4)^2+y^2 )} $

$ (x^2+y^2-2)^2 = ( (x+4)^2+y^2) \cdot ( (x-4)^2+y^2 )$

$x^4+y^3+4 +2x^2y^2 -4y^2-4x^2 = x^4+16x^2-8x^3+x^2y^2 +16x^2+256-128x+16y^2+8x^3+128x-64x^2+8xy^2+x^2y^2+16y^2-8xy^2+y^4 $

$ 4 -4y^2-4x^2 = -32x^2 +32y^2+256 $

$28x^2-36y^2 = 252 $

dividiamo per $252$ tutti gli addendi:

$ \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7} = 1$

2) Riconosci quali delle seguenti equazioni rappresentano iperboli, scrivile nella forma canonica e stabilisci se i fuochi appartengono all'asse x o all'asse y.

a) x^2/4-y^2/3=2

Iperbole, in forma canonica: $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{6} = 1 $ 

Fuochi sull'asse $x$ perché interseca l'asse $x$ (è iperbole $ =1$)

b) 6x^2-y^2+1=0

Iperbole, in forma canonica: $ \frac{x^2}{\frac{1}{16}}-y^2 = -1 $

Fuochi sull'asse $y$ perché  interseca l'asse $y$ (è iperbole $ =-1$)

c) 9x^2-y^2=1

Iperbole, in forma canonica: $\frac{x^2}{\frac19}-y^2 = 1 $

Fuochi sull'asse $x$ perché interseca l'asse $x$ (è iperbole $ =1$)

3) Data l'equazione dell'iperbole, in ciascuno dei seguenti casi determina la misura del semiasse trasverso, le coordinate dei vertici e dei fuochi, l'equazione degli asintoti, l'eccentricità e rappresenta la curva graficamente.

esercizio 1) 25x^2-y^2=-25 

In forma canonica: $x^2-\frac{y^2}{25} = -1 $

Semiasse trasverso $= b = \sqrt{25} = 5$

Vertici: $(0; -b )$, $(0; + b ) \Rightarrow (0; -5) $ e $(0; +5)$.

Fuochi: $c = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{26} \Rightarrow F= (0; \pm c) = (0; \pm \sqrt{26})$

Asintoti: $y = \pm \frac{b}{a}x = \pm 5 x$

eccentricità: $e = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{26}}{5}$

esercizio 2) 4x^2-9y^2=9

In forma canonica: $\frac{x^2}{\frac94}-y^2 = 1 $

Semiasse trasverso $= a = \sqrt{\frac94} = \frac32$

Vertici: $(\pm a; 0 ) \Rightarrow (\pm \frac32; 0) $

Fuochi: $c = \sqrt{a^2+b^2} = \frac{\sqrt{13}}{2} \Rightarrow F= (\pm c; 0) = (0; \pm \frac{\sqrt{13}}{2})$

Asintoti: $y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac23 x$

eccentricità: $e = \frac{c}{a} =\frac{\sqrt{13}}{2} \cdot \frac23 = \frac{\sqrt{13}}{3} $