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Esercizio 42
Interseca l'asse $x$ quindi l'equazione è $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1$
interseca l'asse $x$ in $ x = \pm 2$, sappiamo che $a = 2$ .
Sono segnalati anche gli altri due vertici, che ci dicono che $b = 1$, quindi l'equazione dell'iperbole è:
$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{1} = 1$
2) Scrivi l'equazione dell'iperbole con fuochi sull'asse x con le seguenti caratteristiche (ricordando che a,b,c ed e sono rispettivamente le misure dei semiassi, la semidistanza focale e l'eccentricità).
a) a=2, b=4. (soluzione: 4x^2-y^2=16)
Basa sostituire nella formula generale:
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1$
otteniamo:
$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16} = 1$
Facciamo il minimo comune multiplo:
$4x^2-y^2 = 16$
b) a=1, c=2. (soluzione: 3x^2-y^2=3)
Dato che ha i fuochi sull'asse $x$, $a > b$ e $c = \sqrt{a^2-b^2}$
quindi:
$ 2 = \sqrt{1^2-b^2}$
$4 = 1-b^2$
$b^2 = 3 $
e sostituendo nella formula generale:
$\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3} = 1$
Facciamo il minimo comune multiplo:
$3x^2-y^2= 3$
3) Scrivi l'equazione dell'iperbole con i fuochi sull'asse y e con le seguenti caratteristiche (ricordando che a,b,c ed e sono rispettivamente le misure dei semiassi, la semidistanza focale e l'eccentricità).
a) a=1, b=3. (soluzione: 9x^2-y^2=-9)
Basa sostituire nella formula generale:
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = -1$
otteniamo:
$\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3} = -1$
Facciamo il minimo comune multiplo:
$3x^2-y^2 = 3$
b) b=2, c=5. (x^2/21-y^2/4=-1)
Dato che ha i fuochi sull'asse $y$, $b > a$ e $c = \sqrt{b^2-a^2}$
quindi:
$ 5 = \sqrt{2^2-a^2}$
$25 = 4-a^2$
$a^2 = 21 $
e sostituendo nella formula generale:
$\frac{x^2}{21}-\frac{y^2}{4} = -1$
