[Risolto] Esercizi sulle traslazioni geometriche

Ciao @beppe, dato che i problemi sono molto simili tra loro e qualcuno ti ha già risposto, provo a spiegarti qual è il procedimento generale per risolverli. Se poi ancora non ti è chiaro, ti invito a spezzare la tua richiesta in più domande separate.

Dato un generico vettore di traslazione $v=(a,b)$ la trasformazione che associa ad un punto il corrispondente punto traslato è:

{$x' = x+a$

{$y' = y+b$

cioè partendo da un punto di partenza P(x,y), il punto ottenuto per traslazione P'(x',y') è semplicemente ottenuto come P'(x+a, y+b).

Esempio: 

Se vuoi traslare P(1,3) di vettore v(1,-2) otterrai: P'(1+1, 3-2)= P'(2,1).

 

Questo, bada bene, vale per i punti, ma non per trasformare le funzioni (o le curve). In quest'ultimo caso va applicata non la trasformazione scritta sopra, ma la trasformazione inversa. Perché? Perché nella tua funzione tu non hai x' e y', ma hai x e y, che puoi sostituire se scrivi la trasformazione come:

{$x=x'-a$

{$y=y'-b$

che è semplicemente la trasformazione di prima, in cui però ho isolato x e y, in funzione di x' e y'.

Questo vuol dire che per traslare (ma in realtà per trasformare con una trasformazione generica) una funzione, ti basta sostituire al posto di x e y, i valori ottenuti in funzione di x' e y'.

Prendiamo la trasformazione di prima, di vettore v(1,-2) che dunque ha trasformazione:

{$x' = x+1$

{$y' = y-2$

e scriviamo la trasformazione inversa, isolando x e y:

{$x = x'-1$

{$y = y'+2$

  Ora se vogliamo trasformare, ad esempio, la parabola di equazione $y=x^2+1$ ti basta sostituire:

$y = x^2+1$

$(y'+2) = (x'-1)^2 -1$

e facendo i calcoli:

$y' +2 = x'^2 -2x' +1 -1$

da cui

$y' = x'^2 -2x' -2$

che è la parabola traslata.

Generalmente poi si rinominano le incognite, facendo sparire gli apici, che servono solo a ricordarti che la parabola è stata trasformata. Per cui riscrivo semplicemente come:

$y = x^2-2x-2$

 

Ricorda che questo procedimento è valido per tutte le trasformazioni, non solo per le traslazioni. Quindi ricapitolando:

1) Scrivi la trasformazione per punti

2) Trova l'inversa, "isolando" x e y

3) Sostituisci nella tua funzione

4) Fai tutti i calcoli

5) Eventualmente rinomina x' e y' in x e y.

 

Spero sia più chiaro ora!

Noemi

 

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Consideriamo la parabola

$x = 2y^2 -4y$

La simmetria rispetto all'origine ha equazione:

{$x' = -x$

{$y'=-y$

da cui l'inversa è ovviamente

{$x = -x'$

{$y = -y'$

Allora la parabola trasformata è:

$-x' = 2(-y')^2 -4(-y')$

$-x' = 2y'^2 +4y'$

Cambiando segni e togliendo gli apici:

$x = -2y^2 -4y$

 

La simmetria rispetto all'asse x ha equazione (scrivo già l'inversa, che è uguale):

{$x= x'$

{$y=-y'$

da cui:

$x' = 2(-y')^2 -4(-y')$

$x = 2y^2 +4y$

 

Rispetto all'asse y:

{$x = -x'$

{$y = y'$

da cui:

$-x' = 2y'^2 -4y'$

$x = -2y^2 +4y$

 

Rispetto alla bisettrice del I e III:

{$y = x'$

{$x = y'$

da cui 

$y' = 2x'^2 -4x'$

$y = 2x^2 -4x 

 

Rispetto alla bisettrice di II e IV:

{$x = -y'$

{$y = -x'$

da cui

$-y' = 2(-x')^2 -4(-x')$

$-y' = 2x'^2 +4x'$

$ y = -2x^2 -4x$

 

Ciao di nuovo!

 

 

Certamente il punto 1 non è così sul testo. Te lo sei riscritto interpretandolo a modo tuo. Il risultato è che è tutto sbagliato. Soltanto leggere "l'equazione x+1" mi fa rabbrividire: equazione significa che due cose sono uguali fra loro, quindi in una equazione deve comparire l'uguale!! I testi vanno riscritti parola per parola.

Svolgo il n. 2

La circonferenza originaria ha il centro in (-a/2, -b/2) = (0,0)

Da qui x' = x + 3 e y' = y - 3

e v = (a,b) = (3,-3).

Invertendo le relazioni precedenti e sostituendo x = x'-3, y = y'+3

(x - 3)^2 + (y + 3)^2 - 4 = 0

x^2 + y^2 - 6x + 6y + 9 + 9 - 4 = 0

x^2 + y^2 - 6x + 6y + 14 = 0