[Risolto] Chi mi aiuta a fare il 518 non l ho capito prprio

Dai triangoli rettangoli in figura deduciamo le seguenti relazioni

L sin @ = b

b sin ( TT/2 - 2@ ) = a

da cui si ottiene

b = a/ sin(2@)

L cos @ = a/ sin(2@)

L = 8 / [ 2 sin @ cos^2 @ ] = 4 / [ sin @ (1 - sin^2 (@) ]     (*)

 

Inoltre risulta anche L sin @ = x

ovvero sin @ = x/L

per cui 

 

sin @ ( 1 - sin^2 (@) ) = 4/L    (*)

diventa  x/L * [ 1 - x^2/L^2 ] = 4/L 

x (L^2 - x^2) = 4 L^2 

x L^2 - 4 L^2 = x^3

L^2 = x^3 / (x - 4)

ed essendo L > 0 il suo minimo corrisponderà a quello di L^2, in "x > 4".

x^3/(x-4) = minimo

d(L^2)/dx = [3x^2(x - 4) - x^3*1]/(x - 4)^2 >= 0    (crescenza)

x^2 [3(x - 4) - x] >= 0

3x - 12 - x >= 0

2x >= 12

x >= 6 

per 4 < x < 6 la L^2 é descrescente, e per x > 6 é crescente.

L'unico punto stazionario, x = 6, é un minimo, ed é quello richiesto.

L^2_min = 216/2 = 108 

e da qui L_min = 6 rad 3.

@luigi2

Ciao di nuovo

L = h/COS(θ)-----------      L = 8/(COS(θ)·SIN(2·θ))

L è minimo se il denominatore D è massimo

 D= COS(θ)·SIN(2·θ)-------->    D’ = 2·COS(θ)·COS(2·θ) - SIN(θ)·SIN(2·θ) = 0 (C.N.)

Con

COS(2·θ) = COS(θ)^2 - SIN(θ)^2   e    SIN(2·θ) = 2·SIN(θ)·COS(θ) si ottiene:

2·COS(θ)·(COS(θ)^2 - SIN(θ)^2) - SIN(θ)·(2·SIN(θ)·COS(θ)) = 0

2·x·(x^2 - y^2) - y·(2·y·x) = 0

Avendo posto:

{COS(θ) = x

{SIN(θ) = y

Quindi risolviamo:

2·x·(x^2 - 2·y^2) = 0------> x·(x + √2·y)·(x - √2·y) = 0

Se risolviamo:    x = - √2·y ∨ x = √2·y ∨ x = 0

Quindi:

{x = √2·y

{x^2 + y^2 = 1

Risolvendo: [x = √6/3 ∧ y = √3/3, x = - √6/3 ∧ y = - √3/3]

{COS(θ) = √6/3

{SIN(θ) = √3/3

h = 4/(√3/3·(√6/3))------->    h = 6·√2 pollici

TAN(θ) = x/h

Con TAN(θ) = √3/3·(3/√6)  = √2/2  

Quindi: x = h·TAN(θ) = 6·√2·√2/2------>  x  = 6 pollici