[Risolto] esercizi sulle parabole

Nelle TRENTADUE ORE trascorse da quando tu hai pubblicato a quando io ho visto questa domanda nessuno t'ha risposto dei tanti responsori che queste cose le spiegano benissimo e sai perché? Perché questa domanda è scorretta e maleducata.
Scorretta perché non rispetta il Regolamento (un esercizio a domanda).
Maleducata perché mentitrice: dichiara due esercizi e ne presenta quattro.
Io ti rispondo, ma t'assegno una piccola penitenza a sconto dei suddetti peccati: non ti mostro le soluzioni, ma solo lo schema di risoluzione; e ti lascio il piacere di fare i conti da te.
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PRIMO
Determinare gli eventuali punti reali comuni fra la retta
* r ≡ y = m*x + q
e la parabola
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
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A) Ridurre le equazioni date alla forma dello schema.
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B) Formare l'equazione risolvente del sistema "r & Γ" e ridurla a forma normale canonica.
* h + a*(x - w)^2 - y = 0 ≡
≡ h + a*(x - w)^2 - (m*x + q) = 0 ≡
≡ x^2 - (2*w + m/a)*x + w^2 + (h - q)/a = 0
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C) Formare il discriminante della risolvente.
* Δ = (m^2 - 4*a*(h - m*w - q))/a^2
NB: a != 0 (apertura della parabola) →
→ a^2 > 0 → sgn(Δ) = sgn(m^2 - 4*a*(h - m*w - q))
* D = m^2 - 4*a*(h - m*w - q)
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D) Decidere
* se D < 0 allora r & Γ non hanno punti reali comuni.
* se D = 0 allora r & Γ hanno un punto reale doppio in comune.
* se D > 0 allora r & Γ hanno due punti reali comuni distinti.
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SECONDO
La retta polare p(Γ, P) del punto P(u, v), il polo, rispetto alla conica Γ si ottiene dall'equazione di Γ in forma normale canonica, "f(x, y) = 0", lasciandone inalterati i coefficienti e operandovi le sostituzioni (formule di sdoppiamento) seguenti:
* x^2 → u*x
* y^2 → v*y
* x*y → (v*x + u*y)/2
* x → (u + x)/2
* y → (v + y)/2
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Secondo la posizione del polo rispetto alla conica si danno tre casi.
Se P è interno a Γ allora p(Γ, P) non interessa il problema delle tangenti.
Se P è su Γ allora p(Γ, P) è la tangente in P.
Se P è esterno a Γ allora p(Γ, P) interseca Γ nei punti di tangenza delle tangenti condotte da P.
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Se la conica è la parabola
* Γ ≡ y = a*x^2 + b*x + c
allora la sua forma normale canonica è
* Γ ≡ a*x^2 + b*x + c - y = 0