188) Dal baricentro $G$ del triangolo $A B C$ traccia la parallela al lato $A B$, che incontra $A C$ in $P$ e $B C$ in Q. Determina il rapporto tra l'area di $A B C$ e l'area del trapezio $A B Q P$.
189) Un triangolo isoscele $A B C$ ha base $A B=12 cm$ lela alla base che interseca i lati obliqui nei punti $E$ e $F$, in modo che il trapezio $A B E F$ sia equivalente al triplo del triangolo $E F C$. Sia $O$ il punto di intersezione delle diagonali del trapezio. Calcola: a. il perimetro di EFC; b. il rapporto tra il perimetro di $E F O$ e il perimetro di $A B O$. [a) $16 cm$; b) $\left.\frac{1}{2}\right]$
Il baricentro di un triangolo è il punto di intersezione delle tre mediane, cioè dei segmenti che uniscono ciascun vertice con il punto medio del lato opposto; ognuna delle mediane è divisa dal baricentro in due parti in rapporto 2 : 1 (il baricentro è cioè situato a 2/3 della lunghezza della mediana a partire dal vertice)
Nel problema in questione essendo i triangoli CPG e CAM simili (tre angoli congruenti) possiamo scrivere:
CP/PA = CG/GM = 2/1
Da cui si ricava:
CP= 2*PA
E quindi:
CA= CP+PA = 3*PA
CA/CP = 3/2
Analogamente dalla similitudine dei triangoli CGQ e CMB si ricava che
CB/CQ = 3/2
I triangoli CPQ e CAB sono simili con rapporto di similitudine pari a 3/2.
Il rapporto delle aree è quindi: 9/4
Vogliamo determinare il rapporto tra A(ABC) e A(ABQP)
Posso determinare l'area del trapezio come differenza tra
A(ABPQ) =A(ABC) - A(CPQ) =
=A(ABC) - (4/9)*A(ABC) =
= (5/9)*A(ABC)
Quindi il rapporto tra l'area del triangolo e quella del trapezio è:
A(ABC) / ((5/9)*A(ABC)) = 9/5
********************************
Es 189)
Poiché A(ABEF) = 3*A(CEF) possiamo dire che:
A(ABC) = 4*A(CEF)
Essendo i triangoli CEF e CAB simili, con rapporto tra le aree pari a 4, il rapporto di similitudine risulta essere 2.
Il perimetro di CEF è la metà del perimetro di ABC.
2p(CEF) = (1/2)*2p(ABC) = 32/2 = 16 cm
I triangoli EFO e ABO sono simili (3 angoli congruenti, un angolo perché opposto al vertice e due angoli alterni interni).
Poiché FE = (1/2) *AB possiamo dire che 1/2 è il rapporto di similitudine e quindi tale è il rapporto tra i perimetri dei due poligoni.
