Studia le caratteristiche del fascio di circonferenze di equazione x^2 + y^2 - 2(k-3)x + ky -6k + 14 = 0
a) Stabilisci per quali valori di k l'equazione rappresenta una circonferenza
b) Determina per quali valori di k si hanno circonferenze del fascio che incontrano l'asse delle y in due punti A e B tali che AB = rad 56.
Avrei bisogno per cortesia della soluzione del solo punto b. Gli altri li ho già eseguiti. Grazie a tutti
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Livello 1
La risposta al punto b è : k = -28 oppure k = 4
Ciao Beppe,
L'intersezione tra il fascio di circonferenze e l'asse y si ottiene dal sistema:
{x= 0
{fascio di circonferenze
Sostituendo x=0 nell'equazione del fascio, ottengo:
y² + ky + 14 - 6k = 0
Da cui si ricava:
y1 = ( - k - radice (k² + 24k - 56))/2
y2 = ( - k + radice (k² + 24k - 56))/2
Il fascio di circonferenze interseca l'asse y nei due punti
A= (0,y1)
B= (0, y2)
La lunghezza della corda intercettata sull'asse y è quindi:
l= radice (k² + 24k - 56)
Volendo che sia l= radice (56), deve valere la relazione:
radice(k² + 24k - 56) = radice (56)
Elevando a quadrato i due membri dell'equazione:
k² + 24k - 112 = 0
Da cui si ricava:
K=4, k= - 28
Per k=4, la circonferenza ha equazione
X² + Y² - 2x + 4y - 10 = 0
La circonferenza interseca l'asse y nei punti
A= (0, - 2 - radice (14))
B= (0, - 2 + radice (14))
La lunghezza della corda AB = 2*radice (14) = radice (56)
Per k= - 28, la circonferenza ha equazione
x² + y² + 62x - 28y + 182 = 0
La circonferenza interseca l'asse y nei punti
A= (0, 14 - radice (14))
B= (0, 14 + radice (14))
La lunghezza della corda AB = 2* radice (14) = radice (56)
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Genius II
Grazie come sempre per il tuo aiuto veloce, ma soprattutto, comprensibilissimo, il che non è da tutti e qui mi fermo. Buon pomeriggio.
Grazie Beppe. Buona giornata
E LA RISPOSTA AL PUNTO "a" E' «Per ogni k reale» COME DOVUTO?
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PUNTO "a"
Il fascio
* Γ(k) ≡ x^2 + y^2 - 2*(k - 3)*x + k*y - 6*k + 14 = 0 ≡
≡ x^2 - 2*(k - 3)*x + y^2 + k*y - 6*k + 14 = 0 ≡
≡ (x - (k - 3))^2 - (k - 3)^2 + (y + k/2)^2 - (k/2)^2 - 6*k + 14 = 0 ≡
≡ (x - (k - 3))^2 + (y + k/2)^2 = (√(5*(k^2 - 4))/2)^2
consiste di circonferenze con
* centro C(k - 3, - k/2)
* raggio r(k) = √(5*(k^2 - 4))/2
quindi, con k reale, si hanno circonferenze
* per k < - 2: reali, con r(k) > 0
* per k = - 2: reale, degenere su C
* per - 2 < k < 2: con r^2(k) < 0, degeneri su due rette immaginarie
* per k = + 2: reale, degenere su C
* per k > 2: reali, con r(k) > 0
avendo così coperto l'intero asse k reale, la risposta corretta è
* «Per ogni k reale»
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PUNTO "b"
Il sistema fra l'asse y (x = 0) e il fascio Γ(k) dà A e B
* (x = 0) & ((x - (k - 3))^2 + (y + k/2)^2 = (√(5*(k^2 - 4))/2)^2) ≡
≡ A(0, (- k - √((k + 12)^2 - 200))/2) oppure B(0, (- k + √((k + 12)^2 - 200))/2)
da cui
* |AB| = √((k + 12)^2 - 200) = √56 ≡
≡ k^2 + 24*k - 112 = 0 ≡
≡ (k + 28)*(k - 4) = 0 ≡
≡ (k = - 28) oppure (k = 4)
quindi
* Γ(- 28) ≡ (x + 31)^2 + (y - 14)^2 = 975
* Γ(4) ≡ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 15
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%3D0%2C%28x--31%29%5E2--%28y-14%29%5E2%3D975%2C%28x-1%29%5E2--%28y--2%29%5E2%3D15%5Dx%3D-3to3%2Cy%3D-9to30
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Genius I
