Sia $A B C$ un triangolo e $\gamma$ la sua circonferenza circoscritta. Traccia il diametro della circonferenza passante per $A$ e considera un punto $P$ su tale diametro. Indica con $H$ e $K$ le proiezioni di $P$, rispettivamente, su $A B$ e $A C$. Dimostra che la $H K$ è parallela a $B C$.
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Livello 1
DIMOSTRAZIONE.
Traccia la figura con gli elementi indicati dall'enunciato.
Detto D l'altro estremo del diametro passante per A, congiungi D con B e C.
Puoi osservare che il triangolo ABD é rettangolo perché inscritto in una semicirconferenza,
e ugualmente per ACD. Allora DC // PK (entrambi perpendicolari ad AC) e BD // PH
(entrambi perpendicolari ad AB).
Per il Teorema di Talete si ha quindi
AH/HB = AP/PD = AK/KC
e di conseguenza per la proprietà del comporre
(AH + HB) : AH = (AK + KC) : AK
AH/AB = AK/AC.
Dunque risulta che i triangoli AHK e ABC - avendo due coppie di lati proporzionali
e l'angolo A compreso condiviso - sono simili ed in particolare H^ = B^ e K^ = C^.
Essendo tali angoli coppie di corrispondenti formati da HK e BC tagliate dalle trasversali
AB e AC, segue che tali rette sono parallele, HK // BC.
58340
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Livello 7
