[Risolto] Es 505

a) La retta PR ha coefficiente angolare

m = (-2 - 5/2)/(0 - 3/2) = 3

e la sua equazione é y = 3x - 2

La via concettualmente più semplice é scrivere la risolvente del sistema

x^2 + (3x - 2)^2 - 5x - 3x + 2 + 4 = 0

x^2 + 9x^2 - 12x + 4 - 8x + 6 = 0

10x^2 - 20x + 10 = 0

(x - 1)^2 = 0

un solo punto di intersezione => retta tangente.

In particolare xT = 1 e yT = 3*1 - 2 = 1

 

 

b) Ora farei un disegno

https://www.desmos.com/calculator/ggwh4islqc

e da qui puoi comprendere facilmente che il punto Q

é l'intersezione fra l'altra tangente condotta da P e l'altra tangente condotta da R.

 

Questo calcolo sarebbe estremamente laborioso per via ordinaria.

Lo evito quindi sfruttando le simmetrie. Determino la retta CP con C centro

mCP = 2/(-1) = -2

y -1/2 = -2 (x - 5/2)

y = -2x + 11/2

il simmetrico di T rispetto a tale retta

x' = ((1-4)*1+(-4)*1-2*(-2)*11/2)/(1+4) = (-3 - 4 + 22)/5 = 3

y' = (-4*1+(4-1)*1+11)/(1+4) = (-4+3+11)/5 = 2

e l'equazione dell'altra tangente PT'

mPT' = (1/2)/(-3/2) = -1/3

y - 2 = -1/3(x - 3)

y = -1/3 x + 3

 

e resta per ora provato che PRQ é rettangolo essendo -1/3 l'antireciproco di 3

https://www.desmos.com/calculator/gxtcnkmomu

Poi si ripete il procedimento per R

equazione di RC : y = x - 2

coordinate del simmetrico di T rispetto a RC : T'' = (3, -1)

equazione dell'altra tangente per R : congiungente RT''

y = 1/3 x - 2)

 

Q é l'intersezione

1/3 x - 2 = -1/3x + 3

xQ = 15/2 => yQ = 1/2

 

https://www.desmos.com/calculator/n7vkppa6jg

 

c) la circonferenza richiesta ha per diametro RQ

il centro é il punto medio, il raggio metà della distanza

Lascio i dettagli di calcolo a te - il risultato dovrebbe essere

 

x^2 + y^2 - 15/2 x + 3/2 y - 1 = 0

 

d) é semplice ma pieno di calcoli

x = ay^2 + by + c

(3,2) (1,1) (3,-1)

3 = 4a + b + c

1 = a + b + c

3 = a - b + c

 

da qui 3a = 2  => a = 2/3

 

2a + 2c = 4

c = 2 - a = 4/3

b = 1 - a - c = -1

 

x = 2/3 y^2 - y + 4/3

 

Accenno all'ultimo quesito

Se é 0 < x < 3/2 allora    yRQ < y < yRP

se 3/2 < x < 15/2 allora  yRQ < y < yPQ

E prenderai l'unione di due intersezioni.

 

 

 

 

 

Considero volentieri la circonferenza
* γ ≡ x^2 + y^2 - 5*x - y + 4 = 0 ≡ (x - 5/2)^2 + (y - 1/2)^2 = (√(5/2))^2
di centro C(5/2, 1/2) e raggio r = √(5/2) anche se mi dà un po' fastidio nominare le curve piane con lettere greche minuscole anziché maiuscole (non tutti gli autori hanno studiato sui miei stessi libri: Conforto, Fichera, Picone, ...).
Tuttavia dopo averla considerata non seguirò l'ordine dei quesiti posti dall'autore, ma tratterò insieme (a, b) e (c, e) lasciando d per ultimo.
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A) Quesiti (a, b)
Nella polarità indotta nel riferimento Oxy dalla conica γ
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A1) si calcolano le rette polari pP e pR dei poli P(3/2, 5/2) ed R(0, - 2)
* pP ≡ x*3/2 + y*5/2 - 5*(x + 3/2)/2 - (y + 5/2)/2 + 4 = 0 ≡ y = (x + 1)/2
* pR ≡ x*0 + y*(- 2) - 5*(x + 0)/2 - (y - 2)/2 + 4 = 0 ≡ y = 2 - x
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A2a) si calcolano i punti di tangenza su γ delle tangenti tirate da P
* pP & γ ≡ (y = (x + 1)/2) & ((x - 5/2)^2 + (y - 1/2)^2 = 5/2) ≡ T1(1, 1) oppure T2(3, 2)
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A2b) si calcolano i punti di tangenza su γ delle tangenti tirate da R
* pR & γ ≡ (y = 2 - x) & ((x - 5/2)^2 + (y - 1/2)^2 = 5/2) ≡ T3(1, 1) oppure T4(3, - 1)
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A2c) Per l'unicità della tangente in T1 ≡ T3 HA BUON FINE LA VERIFICA richiesta sub a).
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A3a) si calcolano le tangenti come congiungenti il polo coi punti T
* PT1 ≡ y = 3*x - 2
* PT2 ≡ y = 3 - x/3
* RT3 ≡ y = 3*x - 2
* RT4 ≡ y = x/3 - 2
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A3b) Per l'antireciprocità delle pendenze fra le PT HA BUON FINE LA VERIFICA richiesta sub b).
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A3c) si calcolano le coordinate di Q
* PT2 & RT4 ≡ (y = 3 - x/3) & (y = x/3 - 2) ≡ Q(15/2, 1/2)
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A3d) Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x-5%2F2%29%5E2%3D5%2F2-%28y-1%2F2%29%5E2%2C%283*x-2-y%29*%283-x%2F3-y%29*%28x%2F3-2-y%29%3D0%5D
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B) Quesiti (c, e)
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B1) Il triangolo PQR di vertici
* P(3/2, 5/2), Q(15/2, 1/2), R(0, - 2)
e lati sulle rette
* PQ ≡ y = 3 - x/3 (punto interno per y < 3 - x/3)
* QR ≡ y = x/3 - 2 (punto interno per y > x/3 - 2)
* RP ≡ y = 3*x - 2 (punto interno per y < 3*x - 2)
ha punti (x, y) interni per
* (y < 3 - x/3) & (y < 3*x - 2) & (y > x/3 - 2) ≡
≡ (0 < x <= 3/2) & (x/3 - 2 < y < 3*x - 2)
oppure
≡ (3/2 < x < 15/2) & (x/3 - 2 < y < 3 - x/3)
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B2) Quindi, per a ∈ R e A(3 - 2*a, 1 - a) [NB: il nome 'P' non è riusabile nel contesto corrente], si ha che A è interno a PQR se e solo se
* (1 - a < 3 - (3 - 2*a)/3) & (1 - a < 3*(3 - 2*a) - 2) & (1 - a > (3 - 2*a)/3 - 2) ≡
≡ (a > - 3/5) & (a < 6/5) & (a < 6) ≡
≡ - 3/5 < a < 6/5
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B3) Il circumcentro del triangolo PQR è, nel piano Oxy, l'unico punto K(x, y) equidistanti dai vertici e tale comune distanza è il circumraggio r.
Quindi il circumcerchio si determina risolvendo il sistema
* |KP|^2 = |KQ|^2 = |KR|^2 = r^2 ≡
≡ (x - 3/2)^2 + (y - 5/2)^2 = (x - 15/2)^2 + (y - 1/2)^2 = x^2 + (y + 2)^2 = r^2 ≡
≡ (x = 15/4) & (y = - 3/4) & (r = (5/2)*√(5/2) → r^2 = 125/8)
da cui l'equazione del circumcerchio
* Γ ≡ (x - 15/4)^2 + (y + 3/4)^2 = 125/8
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C) La parabola con asse di simmetria parallelo all'asse x, di forma
* x = w + a*(y - h)^2
passa per i punti T1(1, 1), T2(3, 2), T4(3, - 1) soddisfacendo ai vincoli d'appartenenza
* (1 = w + a*(1 - h)^2) & (3 = w + a*(2 - h)^2) & (3 = w + a*(- 1 - h)^2) ≡
≡ (a = 1) & (h = 1/2) & (w = 3/4)
da cui
* x = 3/4 + (y - 1/2)^2
Vedi il grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x-5%2F2%29%5E2%3D5%2F2-%28y-1%2F2%29%5E2%2C%283*x-2-y%29*%283-x%2F3-y%29*%28x%2F3-2-y%29%3D0%2Cx-%28y-1%2F2%29%5E2%3D3%2F4%5Dx%3D0to8%2Cy%3D-3to3
Vedi il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x-5%2F2%29%5E2%3D5%2F2-%28y-1%2F2%29%5E2%2C%283*x-2-y%29*%283-x%2F3-y%29*%28x%2F3-2-y%29%3D0%2Cx-%28y-1%2F2%29%5E2%3D3%2F4%5D