es 15

Perché il triangolo sia equilatero deve essere anche equiangolo, quindi deve avere tutti gli angoli di $60^{\circ}$, allora l'angolo $\widehat{OAB}$ deve misurare $30^{\circ}$ perché $\overline{AC}$ è parallelo all'asse $y$. Allora sappiamo che la retta passante per $A$ e $B$ forma un angolo di $-30^{\circ}$ con il semiasse positivo delle $x$. Ricorda che il coefficiente angolare di una retta è $\frac{y}{x}=m$, quindi è la tangente dell'angolo che essa forma con il semiasse positivo delle ascisse. Allora $m=\tan(-30^{\circ})=-\tan(30^{\circ})=-\frac{\sin(30^{\circ})}{\cos(30^{\circ})}=-\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Allora l'equazione della retta passante per $\overline{AB}$ è:
$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3)$

Sapendo che $B$ ha ascissa $0$ perché si trova sull'asse $y$, possiamo sostituire $x=0$ per trovare $y_B$:

$y_B=-\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (-3) = \sqrt{3}$.

Sapendo che $C$ si trova sulla retta $x=3$ parallela all'asse $y$ ci basta trovare la lunghezza del lato del triangolo e sommarla all'ordinata di $A$:

$\ell = \sqrt{\sqrt{3}^2+3^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

quindi $B(0,\sqrt{3})$ e $C(3,2\sqrt{3})$.

Adesso imponiamo il passaggio della parabola per $A$ e $B$:

$\begin{cases} a(0)^2+b(0)+c=\sqrt{3} \\ a(3)^2+3b+c=0 \end{cases}$
$\begin{cases} c= \sqrt{3} \\ 9a+3b +\sqrt{3}=0 \end{cases}$
$\begin{cases} c= \sqrt{3} \\ b = -\frac{\sqrt{3}}{3}-3a=-(\frac{\sqrt{3}+9a}{3}) \end{cases}$

Sia $P_1$ la parte del triangolo individuata dalla parabola, $I=\int_{0}^{3} ax^2-(\frac{\sqrt{3}+9a}{3})x+\sqrt{3} dx$, allora secondo i dati del problema:

$\ell ^2 \frac{\sqrt{3}}{4} - P_1 = 2P_1$

$(2 \sqrt{3})^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = 3P_1$

$P_1= \sqrt{3}$. 

$I-AOB = P_1$

$I-\frac{3\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

$I=\frac{5}{2}\sqrt{3}$

La primitiva è semplicemente $F(x)=\frac{a}{3} x^3-(\frac{\sqrt{3}+9a}{6})x^2+\sqrt{3}x$, quindi abbiamo che:

$I=F(3)-F(0)=\frac{5}{2}\sqrt{3}$

$F(3)=\frac{5}{2}\sqrt{3}$

$18a-27a-3\sqrt{3}+6\sqrt{3}=5\sqrt{3}$

da cui:

$a =-\frac{2\sqrt{3}}{9}$, dunque $b=-\frac{\sqrt{3}}{3}-3a=\frac{\sqrt{3}}{3}$

In definitiva l'equazione della parabola è:

$y= -\frac{2\sqrt{3}}{9}x^2+\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$.