es 13

Avendo l'equazione della parabola $y=x^2-2x+2$, dobbiamo trovare la simmetrica rispetto alla retta $y=2$, per fare ciò ti basta impostare il sistema di trasformazione geometrica:

$\begin{cases} x=x' \\ \frac{y+y'}{2}=2 \end{cases}$

$\begin{cases} x= x' \\ y=4-y' \end{cases}$

Ora sostituisci $x$ in funzione di $x'$ e $y$ in funzione di $y'$:

$4-y'=x'^2-2x'^2+2$

cancella gli apici e trovi la simmetrica:

$y=-x^2+2x+2$.

L'area puoi calcolarla semplicamente come:

$A=2\int_{0}^{2} x^2-2x+2  dx-8=\frac{8}{3}$ (calcolando l'integrale da $0$ a $2$ calcoli anche l'area del quadrato di area $4$ che si trova entro $y<f(0)\ con\ 0 \leq x \leq 2$, quindi calcoli l'area di un arco e la moltiplichi due volte per contare l'area dell'altro). Se preferisci usare il teorema di Archimede:

$A=\frac{2}{3} 2 \cdot (3-1)= \frac{2}{3} \cdot 2 \cdot 1 = \frac{4}{3}$, moltiplicala per $2$ per contare la seconda parabola e ottieni $A_{tot}=\frac{8}{3}$.

La circonferenza inscritta si trova ovviamente nel punto medio del segmento congiungente i due punti di intersezione (altrimenti non sarebbe la più grande) e deve avere raggio uguale alla distanza dal punto della parabola più vicino (altrimenti non sarebbe bitangente).

La distanza di un punto dalla parabola al centro $(1,2)$ della circonferenza ha la seguente espressione:

$r^2(x)= (x^2-2x+2-2)^2+ (x-1)^2= x^4+-4x^3+4x^2+x^2-2x+1=x^4-4x^3+5x^2-2x+1$. Deriviamo la funzione per la distanza e otteniamo:

$r^{2'}(x)=4x^3-12x^2+10x^2-2$

per trovare i punti di minimo poniamo la derivata uguale a $0$ (divido direttamente per $2$):

$2x^3-6x^2+5x-1=0$

è ovvio che $x=1$ è un punto di massimo della distanza quindi anche lì la derivata è uguale a $0$, quindi usiamo Ruffini e scomponiamo il polinomio come:

$(x-1)(2x^2-4x+1)=0$

Ora poniamo $2x^2-4x+1=0$ e risolviamo:

$x=\frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{4}=\frac{2 \pm \sqrt{2}}{2}$

otteniamo due soluzioni per la simmetria della parabola.

Calcoliamo $r^2(\frac{2-\sqrt{2}}{2})=\frac{3}{4}$ (ti risparmio il calcolo).

Allora l'equazione della circonferenza è

$(x-1)^2+(y-2)^2=\frac{3}{4}$

$x^2+y^2-2x-4y+5=\frac{3}{4}$

$4x^2+4y^2-8x-16y+17=0$.

Link al grafico: https://www.desmos.com/calculator/6vnqpvbtf9