Equazioni parametriche e rette perpendicolari

Ciao @salvonardyn,

Il doppio errore fatto è 1) nel calcolo del coefficiente angolare del fascio di rette

2) nella condizione imposta affinché le rette date siano perpendicolari. Uguagliando i coefficienti angolari imponi la condizione di parallelismo tra rette non quella di |_

1)

Data una generica retta in forma implicita:

ax+by+c=0

il coefficiente angolare è: m= - a/b

Quindi nel caso del nostro problema risulta:

m= (a+2)/(a+4)

Data una retta in forma esplicita: y= mx+q il coefficiente angolare è m. 

Nel nostro caso:

m1 = (3-a)/(3a)

2)

Due generiche rette sono perpendicolari se i coefficienti angolari sono antireciproci (m*m1 = - 1)

(Due generiche rette sono parallele se hanno stesso coefficiente angolare) 

Nel nostro caso la condizione è:

[(a+2)/(a+4)] * [(3 - a) / (3a)] = - 1

Da cui si ricavano i valori di a

a= - 6 ; a= - 1/2

a= - 6 (rette in nero) 

a= - 1/2 (rette in azzurro) 

Buona giornata. 

Stefano 

Il testo dell'esercizio 81 inizia chiamando "rette" le equazioni di due "fasci" uno dei quali è anche presentato in forma (a mio parere) scorretta.
Il problema rientra nella più ampia famiglia che investiga le relazioni fra rette corrispondenti di due fasci proprii accoppiati dal medesimo parametro e in ispecie se possano o meno formare angoli di determinate ampiezze. Le ampiezze zero e π/2 sono le meno impicciose da verificare: 81 ne ha chiesta una, tu hai verificato l'altra trovando "soluzioni non coerenti con quelle del testo" (e avrei ben voluto vedere!).
Sarebbe stato facile accorgersi che le verifiche da fare sono tre e non una sola se il testo fosse stato presentato in forma un po' più rispettosa dell'alunno e anche della Matematica (sempre a mio parere, eh!).
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Determinare, se esistono, tutti i valori del parametro per cui le rette corrispondenti nei fasci di rette
* r(a) ≡ (a + 2)*x - (a + 4)*y + 7 = 0 ≡
≡ (a = - 4) & (x = 7/2) oppure (a != - 4) & (y = ((a + 2)/(a + 4))*x + 7/(a + 4))
* s(a) ≡ (a - 3)*x + (3*a)*y - 12*a = 0 ≡
≡ (a = 0) & (x = 0) oppure (a != 0) & (y = ((3 - a)/(3*a))*x + 4)
formano un angolo di ampiezza φ.
Alternativamente motivare l'affermazione che non ne esistono.
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Nel caso dell'esercizio 81 (φ = π/2) sarebbe saltato agli occhi la necessità di verificare anche se s(- 4) e/o r(0) avessero per caso pendenza zero (no, nessuna delle due)
* r(0) ≡ y = x/2 + 7/4
* s(- 4) ≡ y = 4 - (7/12)*x
oltre alla ovvia
* ((a + 2)/(a + 4))*(3 - a)/(3*a) + 1 = 0 ≡
≡ (2/3)*(a + 6)*(a + 1/2)/((a + 4)*a) = 0 ≡
≡ (a = - 6) oppure (a = - 1/2)
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NOTA PERSONALE
@stefanopescetto @salvonardyn
Vi chiedo scusa se m'impiccio e intervengo su una questione già chiarita, ma spero che vi possa interessare un po' anche il mio punto di vista.
Io scorro ciò che si pubblica sul sito clickando su "Prossima discussione>" che mi si apre dall'alto: titolo, domanda, e leggo il resto solo se m'interessa.
Salvo, come quasi paesano, m'interessa comunque; gli esercizi sulle rette m'interessano; non ho premuto Ctrl-Fine e mi son messo a leggere: il manoscritto con fatica, ma la risposta di Stefano con calma.
L'equivoco di Salvo è palese e la correzione di Stefano impeccabile; però c'è nel complesso qualcosa che mi "sfrizzola il velopendulo, titilla la papilla" (Gadda → Golia Bianca) e poi l'ho vista, la cosa: il testo dell'esercizio 81! E ho scritto la mia superflua risposta.