Ciao a tutti!
qualcuno sa come impostare questo esercizio?
grazie mille a chi saprà aiutarmi
È data l'equazione $x^{2}-2(a+1) x-1-a=0$. Determina per quali valori di a l'equazione:
a. ammette fra le sue soluzioni $x=-1$;
b. ammette due soluzioni reali la cui somma è 4 ;
c. ammette due soluzioni reali il cui prodotto è $3 .$
280
punti
Livello 1
Cominciamo dal delta D = B^2 - 4AC = 4(a+1)^2 - 4*1 * (-1-a) = 4 [a^2 + 2a + 1 + 1 + a] =
= 4(a^2 + 3a + 2)
a) Se x = -1 é soluzione deve essere (-1)^2 - 2(a+1)(-1) - 1 - a = 0
1 + 2a + 2 - 1 - a = 0
a + 2 = 0 => a = -2
in questo caso é scontato che le radici sono reali perché una é assegnata
Per i rimanenti quesiti si devono ricordare le relazioni
x1 + x2 = -B/A
x1*x2 = C/A
Delta >= 0
Così risulta
b) - B/A = 4 => 2(a+1)/1 = 4 => a + 1 = 2 => a = 1.
Verifica la realtà delle radici : Delta = 4*(1^2 + 3*1 + 2) = 4*6 = 24 > 0
c) Analogamente, C/A = 3 => (-1 - a)/1 = 3 => -a - 1 = 3 => a = -1 - 3 = -4
Sostituendo ancora nel Delta, 4*(16 - 12 + 2) = 24 > 0 e le radici sono reali.
36720
punti
Livello 6
@eidosm grazie mille alla fine punto b e punto c li ho capiti da sola, ho una domanda riguardante i calcoli del Delta. Non sarebbe (-2(a+1))^2-4(1)(-1-a)
Non sarebbe 4a^2-8a+4+4+4a=
4a^2-4a+8
No, il meno é neutralizzato dal quadrato, per cui viene 4(a^2 + 2a + 1) + 4 + 4a =
= 4a^2 + 8a + 4a + 4 + 4 = 4a^2 + 12 a + 8 = 4(a^2 + 3a + 2)
@eidosm ...ottimo lavoro !!👍
x^2 - 2·(a + 1)·x - 1 - a = 0
per la realtà delle radici puoi considerare:
Δ/4 ≥ 0----> (a + 1)^2 + (1 + a) ≥ 0-----> a^2 + 3·a + 2 ≥ 0
cioè: (a + 1)·(a + 2) ≥ 0 quindi a ≤ -2 ∨ a ≥ -1
1) x=-1
(-1)^2 - 2·(a + 1)·(-1) - 1 - a = 0-----> a + 2 = 0-----> a = -2
2) 2·(a + 1)/1 = 4-----> a = 1
3) (-1 - a)/1 = 3----> a = -4
76980
punti
Genius II
@lucianop ...ottimo lavoro !!👍
Per tutte le motivazioni di ripasso preliminare vedi la mia risposta
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/35503/
a una tua precedente domanda pressoché identica a questa.
Qui mi limito a mostrarti come rispondere ai quesiti.
Data la
* x^2 - 2*(a + 1)*x - 1 - a =
= (x - ((a + 1) - √(a^2 + 3*a + 2)))*(x - ((a + 1) + √(a^2 + 3*a + 2)))
con
* s = 2*(a + 1)
* p = - (a + 1)
* Δ = 4*(a + 2)*(a + 1)
* X1 = (a + 1) - √(a^2 + 3*a + 2))
* X2 = (a + 1) + √(a^2 + 3*a + 2))
si ha
a) X = - 1 ≡ (- 1)^2 - 2*(a + 1)*(- 1) - 1 - a = 0 ≡ a = - 2
b) (Δ >= 0) & (s = 4) ≡
≡ ((a + 2)*(a + 1) >= 0) & (2*(a + 1) = 4) ≡ a = 1
c) (Δ >= 0) & (p = 3) ≡
≡ ((a + 2)*(a + 1) >= 0) & (- (a + 1) = 3) ≡ a = - 4
51282
punti
Genius I
@exprof ...ottimo lavoro !!👍
