Equazioni parametriche

@aurora_lecchi

Ciao di nuovo.

(k - 2)·x^2 - 2·x + 3 = 0   con k - 2 ≠ 0-----> k ≠ 2

a = k - 2

b = -2

c = 3

Per essere reali le soluzioni: Δ ≥ 0 ossia: (-2)^2 - 4·(k - 2)·3 ≥ 0----> 28 - 12·k ≥ 0 quindi k ≤ 7/3

-b/a =2/(k - 2) = 1----> k = 4 INCOMPATIBILE COME SOLUZIONE (Impossibile)

POI

c/a = -1-----> 3/(k - 2) = -1----> k = -1

impostazioni corrette con Delta maggiore o uguale a 0

Ogni equazione di secondo grado si può porre nella forma
* T(x) = 0
dove T(x) è il trinomio quadratico monico
* T(x) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2)
con discriminante
* Δ = s^2 − 4*p
e zeri
X = (s ± √Δ)/2
cioè
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
tali che
* X1 + X2 = s (somma)
* X1 * X2 = p (prodotto).
Se Δ >= 0 gli zeri sono reali e vale X1 <= X2.
L'equazione T(x) = 0 ha radici X1 e X2 distinte se e solo se Δ è non nullo:
* X1 e X2 complesse coniugate se Δ < 0
* X1 e X2 reali se Δ > 0.
Nel caso in cui i coefficienti (s, p) siano funzioni (s(k), p(k)) di un parametro k, ogni vincolo V(X1, X2) = 0 si traduce, tramite l'espressione X = (s ± √Δ)/2, in un'equazione in k.
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NEL CASO IN ESAME
* ((k - 2)*x^2 - 2*x + 3 = 0) & (k != 2) ≡
≡ (x^2 - (2/(k - 2))*x + 3/(k - 2) = 0) & (k != 2)
* s = 2/(k - 2)
* p = 3/(k - 2)
* Δ = s^2 − 4*p = (2/(k - 2))^2 − 4*3/(k - 2) = 4*(7 - 3*k)/(k - 2)^2
* X1 = (1 - √(7 - 3*k))/(k - 2)
* X2 = (1 + √(7 - 3*k))/(k - 2)
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RISPOSTE AI QUESITI
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0) "sono reali", comune ad entrambi i quesiti
* 7 - 3*k >= 0 ≡ k <= 7/3
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1) "sono reali e assommano a uno", quesito a
* (k <= 7/3) & (s = 1) ≡
≡ (k <= 7/3) & (2/(k - 2) = 1) ≡
≡ (k <= 7/3) & (k = 4) ≡
≡ (insieme vuoto) ≡
≡ nessun valore del parametro soddisfà alla condizione.
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2) "sono reali e antinversi", quesito b
* (k <= 7/3) & (p = - 1) ≡
≡ (k <= 7/3) & (3/(k - 2) = - 1) ≡
≡ (k <= 7/3) & (k = - 1) ≡
≡ k = - 1