Equazioni omogenee e di Bernoulli.

Question

[attach]115076[/attach] [attach]115077[/attach] Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.

cmc · Accepted Answer

$ y' =  frac {-y}{y+x} =  frac {- frac {y}{x}}{ frac {y}{x}+1} $ Si tratta di una ODE di tipo omogeneo. Poniamo z =  frac {y}{x} dalla quale segue y' = z + xz'  Procedendo con le sostituzioni $ z+xz' =  frac {-z}{z+1} $ xz' = - frac {z^2 + 2z}{z+1} $   Si tratta di una ODE a variabili separabili 1. Separare. $  frac {z+1}{z^2+2z} dz = - frac {dx}{x} $ 2. Integrare. $  frac {1}{2} ln(z^2 +2z) = c - ln|x|$ $  ln(z^2+2z) = c - 2 ln|x|$ $  ln(z^2 + 2z) = c - ln(x^2)$ $  ln(z^2 + 2z) = ln( frac {c}{x^2})$ $ z^2+2z - frac {c}{x^2} = 0$ 3. Esplicitare la y(x) Passiamo alla risoluzione dell'equazione di secondo grado precedente $ z =  frac {-x+/- sqrt {c+x^2}}{x} $ torniamo alla variabile originaria $  frac {y}{x} =  frac {-x+/- sqrt {c+x^2}}{x} $ $ y(x) = -x+/- sqrt {c+x^2} $

Equazioni omogenee e di Bernoulli.

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