Equazioni omogenee e di Bernoulli.

$ y' = \frac{y+x}{y-x} $             Equazione omogenea

Poniamo z = y/x  ⇒  y = zx  ⇒  y' = z'x + z    per cui

$ z'x + z = \frac{z+1}{z-1} $

$ z'x = \frac{z+1}{z-1} - z  \; ⇒ \; z'x = \frac {-z^2+2z+1}{z-1}$

Quest'ultima è una ODE a variabili separabili.

1. Separare. $ \frac{z-1}{-z^2+2z+1} dz = \frac{dx}{x}$

2. Integrare. $ \int \frac{z-1}{-z^2+2z+1} \, dz = \int \frac{1}{x} \, dx \; ⇒ \; -\frac{1}{2} ln(-z^2+2z+1) = ln(x) + c $  

3. Esplicitare. $ -\frac{1}{2} ln(-z^2+2z+1) =  ln(x) + ln(c') $      una costante reale può essere espressa come log(c'). Di seguito indicheremo con c qualsiasi costante

$ ln(-z^2+2z+1) =  ln(\frac{1}{x^2}) + ln(c)  $

$ ln(-z^2+2z+1) =  ln(\frac{c}{x^2})  $

$ -z^2+2z+1 - \frac{c}{x^2} = 0  $

Risolvendo l'equazione di secondo grado

$ z = \frac{x^2 \pm \sqrt{x^2(x^2-c)}}{x^2} $

Ritornando alla variabile originaria

$ \frac{y}{x} = \frac{x^2 \pm \sqrt{x^2(x^2-c)}}{x^2} $

$ y(x) = x \pm \sqrt{x^2-c} $