Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
$ y' = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} $
Si tratta di una ODE di tipo omogeneo.
Poniamo $z = \frac{y}{x}$ dalla quale segue y' = z + xz'
Procedendo con le sostituzioni
$ z+xz' = \frac{1}{z} - z $
$ xz' = \frac{1-2z^2}{z} $
Si tratta di una ODE a variabili separabili
1. Separare. $ \frac{z}{1-2z^2} dz = \frac{dx}{x} $
2. integrare. $ -\frac{1}{4} ln(1-2z^2) = ln|x|+ c$
$ ln(1-2z^2) = c - 4 ln|x|$
$ ln(1-2z^2) = c - ln(x^4)$
3. Esplicitare la y(x)
Applichiamo l'esponenziale ad ambo i membri
$ e^{ln(1-2z^2)} = \frac{e^c}{e^{ln(x^4)}} = \frac{c}{x^4} $
$ 1-2z^2 = \frac{c}{x^4}$
$ -2z^2 = \frac{c-x^4}{x^4}$
$ z^2 = \frac{x^4 - c}{2x^4}$
$ z = \pm\sqrt{\frac{x^4-c}{2x^4}} $
Ritornando alla variabile originaria
$ y = \pm x\sqrt{\frac{x^4-c}{2x^4}} $
$ y = \pm \sqrt{\frac{x^4-c}{2x^2}} $
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Livello 6