Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
$ y' = \frac{y^3-x^3}{xy^2} $
Si tratta di una ODE di tipo omogeneo.
Poniamo z = y/x ⇒ y' = z + z' \cdot x . I passaggi sono illustrati nel panel "Esercizio guidato".
per cui
$ z + x \cdot z' = \frac{z^3 -1}{z^2} $
$ x \cdot z' = \frac{z^3 -1}{z^2} - z = -\frac{1}{z^2} $
$ x \cdot z' = -\frac{1}{z^2} $
Quest'ultima è una ODE a variabili separabili
1. Separare. $ z^2 \, dz = - \frac{1}{x} \, dx $
2. Integrare. $ \int z^2 \, dz = - \int \frac{1}{x} \, dx \; ⇒ \; \frac{z^3}{3} = c - ln|x| $ ovvero
$ z^3 = c - 3ln|x| $
Ritornando alla variabile originaria
$ \frac{y^3}{x^3} = c - 3ln|x|\; ⇒ \; y^3 = x^3(c-3ln|x|) $ per cui
$ y = x\sqrt[3]{(c-3ln|x|)} $
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Livello 6