Equazioni non omogenee

Determino la soluzione generale dell'omogenea associata a cui poi dovrò aggiungere una soluzione particolare dell'equazione differenziale completa.

Equazione caratteristica:

λ^2 - 4·λ = 0

λ·(λ - 4) = 0

λ = 4 ∨ λ = 0

Υ = C1·e^(4·x) + C2

Calcolo della soluzione particolare completa. Pongo:

y = Α·SIN(2·x) + Β·COS(2·x)

y'=2·Α·COS(2·x) - 2·Β·SIN(2·x)

y''= - 4·Β·COS(2·x) - 4·Α·SIN(2·x)

Quindi:

- 4·Β·COS(2·x) - 4·Α·SIN(2·x) - 4·(2·Α·COS(2·x) - 2·Β·SIN(2·x)) = 10·COS(2·x)

(8·Β - 4·Α)·SIN(2·x) - (8·Α + 4·Β)·COS(2·x) = 10·COS(2·x)

Determino i coefficienti A e B:

{8·Β - 4·Α = 0

{- (8·Α + 4·Β) = 10

Risolvo ed ottengo:

[Α = -1 ∧ Β = - 1/2]

yP = (-1)·SIN(2·x) + (- 1/2)·COS(2·x)= - COS(2·x)/2 - SIN(2·x)

Per cui, soluzione dell'equazione differenziale data è:

y= Y + yP = C1·e^(4·x) + C2 - COS(2·x)/2 - SIN(2·x)

y'' - 4y' = 0

y' - 4y = C1

y' e^(-4x) + y e^(-4x) = C1 e^(-4x)

(y e^(-4x))' = C1 e^(-4x)

y e^(-4x) = C1/(-4) e^(-4x) = C1 e^(-4x) + C2

y = C1 + C2 e^(4x)

Soluzione particolare

la cerco nella forma A cos 2x + B sin 2x

y' = - 2A sin 2x + 2B cos 2x

y'' = -4A cos 2x - 4B sin 2x

y'' - 4y' = (-4A - 8B) cos 2x + (-4B + 8A) sin 2x

-4A - 8B = 10

-4B + 8A = 0

A = B/2

- 2B - 8B = 10

B = -1

A = -1/2

Ricomponendo y = C1 + C2 e^(4x) - 1/2 cos 2x - sin 2x

Più rapidamente 

Con i fasori dell'Elettrotecnica

w = 2

(jw)^2 Y - 4j w Y = 10

- 4 Y - 8 j Y = 10

(-4 - j8) Y = 10

Y = 10/(-4 - j8) = 10(-4 + j8)/(16 + 64 )

Y = 1/8 (- 4 + j8) = -1/2 + j

y = -1/2 cos 2x - sin 2x