Equazioni non omogenee

Determino la soluzione generale dell'omogenea associata a cui poi dovrò aggiungere una soluzione particolare dell'equazione differenziale completa.

Equazione caratteristica:

λ^2 + 4 = 0

λ = - 2·i ∨ λ = 2·i

Υ = C1·SIN(2·x) + C2·COS(2·x)

Calcolo della soluzione particolare completa. Pongo:

yP = x·(Α·SIN(2·x) + Β·COS(2·x))

y'=(2·Α·x + Β)·COS(2·x) + (Α - 2·Β·x)·SIN(2·x)

y''= 4·(Α - Β·x)·COS(2·x) - 4·(Α·x + Β)·SIN(2·x)

4·(Α - Β·x)·COS(2·x) - 4·(Α·x + Β)·SIN(2·x) + 4·x·(Α·SIN(2·x) + Β·COS(2·x)) = 12·COS(2·x)

4·Α·COS(2·x) - 4·Β·SIN(2·x) = 12·COS(2·x)

Quindi deve essere:

{4·Α = 12----> Α = 3

{4·Β = 0----> B = 0

yP = 3·x·SIN(2·x)

Quindi. y=Y+yP=C1·SIN(2·x) + C2·COS(2·x) + 3·x·SIN(2·x)

-) Equazione differenziale. $y$"$ + 4 y = 12cos(2x)$

•  Omogenea associata. y" + 4y = 0
•  Polinomio caratteristico.  $ λ^2 + 4  $
• Radici polinomio caratteristico. $λ = \pm 2 \, i $  due radici complesse coniugate
•  Soluzione generale dell'omogenea. $ y(x) = c_1 cos(2x)  + c_2 sin(2x) $ 

• Soluzione particolare. La funzione candidata è, $ \bar{y}(x) = Acos(2x) + Bsin (2x) $ con A, B numeri reali. Purtroppo la funzione candidata è soluzione dell'omogenea, si dovrà quindi provare con $ \bar{y}(x) = Axcos(2x) + Bxsin (2x) $, cioè moltiplicarla per x.

• • Procedendo con le derivate: 

1. $ \bar{y}(x) = Axcos(2x) + Bxsin (2x) $ 
2. $ \bar{y}'(x) = (B-2Ax)sin(2x) + (A+2Bx)cos(2x)  $ 
3. $ \bar{y}$"$(x) = 4(B-Ax)cos(2x) - 4(A+Bx)sin (2x) $

Introducendo i valori nell'equazione differenziale

$ 4(B-Ax)cos(2x) - 4(A+Bx)sin (2x) + 4Axcos(2x) + 4Bxsin (2x) = 12 cos(2x) \; ⇒ \; A = 0 \; \land \; B = 3 $

•  
  • Una soluzione particolare è così $ \bar{y}(x) = 3x\,sin(2x)$.

• Soluzione generale equazione differenziale non omogenea. Si tratta di sommare alla soluzione generale dell'omogenea una soluzione particolare, quindi
  • $y(x) = c_1 cos(2x)  + c_2 sin(2x) + 3x\,sin(2x) $