Determina gli integrali generali delle seguenti equazioni differenziali:
a. $y^{\prime \prime}+9 y=x$
b. $y^{\prime \prime}-4 y=e^{2 x}$
c. $y^{\prime \prime}+y=2 \sin 2 x-\cos 2 x$
a. Determina anzitutto l'integrale generale dell'equazione omogenea associata e verifica che esso è:
$$
y=c_1 \cos 3 x+c_2 \sin 3 x
$$
Determina poi un integrale particolare dell'equazione data: poiché 0 non è soluzione dell'equazione caratteristica associata, devi cercare come integrale particolare un polinomio di primo grado, della forma $A x+B$. Troverai cosi che un integrale particolare $\grave{e} y=\frac{1}{9} x$. L'integrale generale dell'equazione data è pertanto $y=c_1 \cos 3 x+\ldots .+\ldots$.
b. Procedi similmente al caso precedente, osservando che devi cercare un integrale particolare della forma Axe ${ }^{2 x}$ (perché?). Troverai che l'integrale generale dell'equazione data è $y=c_1 e^{2 x}+c_2 e^{-2 x}+\frac{1}{4} x e^{2 x}$.
c. Verifica anzitutto che l'integrale generale dell'equazione omogenea associata è $y=c_1 \sin x+c_2 \cos x$.
Devi ora cercare una soluzione particolare dell'equazione data (non omogenea) della forma:
$$
y=A \sin 2 x+B \cos 2 x
$$
con $A$ e $B$ coefficienti ancora da determinare. Dopo avere controllato che $y^{\prime \prime}=-4 A \sin 2 x-4 B \cos 2 x$ puoi sostituire nell'equazione originaria, raccogliere e semplificare. Giungi così all'equazione:
$$
(\ldots) \sin 2 x+(\ldots) \cos 2 x=0
$$
Affinché risulti una identità, cioè sia valida per ogni $x \in \mathrm{R}$, deve essere $A=-\frac{2}{3}$ e $B=$
L'integrale generale dell'equazione data è quindi:
$$
y=c_1 \sin x+c_2 \cos x+\ldots \sin 2 x+\ldots \cos 2 x
$$
$$
\left[\text { a. } y=c_1 \cos 3 x+c_2 \sin 3 x+\frac{1}{9} x ; \text { b. } y=c_1 e^{2 x}+c_2 e^{-2 x}+\frac{1}{4} x e^{2 x}\right.
$$
c. $\left.y=c_1 \sin x+c_2 \cos x-\frac{2}{3} \sin 2 x+\frac{1}{3} \cos 2 x\right]$
Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
