Equazioni non omogenee

Question

[attach]115334[/attach] [attach]115335[/attach] Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.

cmc · Accepted Answer

-) Equazione differenziale. y"$ + 4y' + 4 y = 10 $ -) Soluzione omogenea associata   Omogenea associata. y" + 4y' + 4y = 0  Polinomio caratteristico.  $ λ^2 + 4λ +4  = (λ+2)^2 $ Radici polinomio caratteristico. λ = -2; $  due radici reali coincidenti  Soluzione generale dell'omogenea. $ y(x) = c_1 e^{-2x} + c_2 x e^{-2x} $    -) Soluzione particolare. La funzione candidata è, $  bar {y}(x) = A $ con A numero reale. Procedendo con le derivate:  $  bar {y}(x) = A $  $  bar {y}'(x) = 0 $  $  bar {y}"$(x) = 0 $ Introducendo i valori nell'equazione differenziale $ 4 A = 10  ; ⇒ ; A =  frac {5}{2}   Una soluzione particolare è così $  bar {y}(x) =  frac {5}{2}.   -) Soluzione generale equazione differenziale non omogenea. Si tratta di sommare alla soluzione generale dell'omogenea una soluzione particolare, quindi $ y(x) = c_1 e^{-2x} + c_2 x e^{-2x} +  frac {5}{2} $

Equazioni non omogenee

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