Equazioni non omogenee

-) Equazione differenziale. $y$"$ + 4 y = 2x-1 $

-) Soluzione omogenea associata 

•  Omogenea associata. y" + 4y = 0
•  Polinomio caratteristico.  $ λ^2 +4  $
• Radici polinomio caratteristico. $λ = \pm 2 \, i; $  due radici complesse coniugate
•  Soluzione generale dell'omogenea. $ y(x) = c_1 cos(2x) + c_2 sin(2x) $ 

-) Soluzione particolare. La funzione candidata è, $ \bar{y}(x) = Ax+B $ con A, B numeri reali. Procedendo con le derivate: 

1. $ \bar{y}(x) = Ax+B $ 
2. $ \bar{y}'(x) = A $ 
3. $ \bar{y}$"$(x) = 0 $

Introducendo i valori nell'equazione differenziale

$ 4(Ax+B) = 2x-1  \; ⇒ \; A = \frac{1}{2} \; \land \; B = -\frac{1}{4}$

•  
  • Una soluzione particolare è così $ \bar{y}(x) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} $

-) Soluzione generale equazione differenziale non omogenea. Si tratta di sommare alla soluzione generale dell'omogenea una soluzione particolare, quindi

• • $ y(x) = c_1 cos(2x) + c_2 sin(2x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} $