Equazioni nella geometria

In figura, è rappresentata la situazione per a=6

In base alla figura:

Area triangolo sotto a destra:

1/2·(a - x)·(a/2) = a^2/4 - a·x/4

Area triangolo in alto a destra:

1/2·(a - y)·(a/2) = a^2/4 - a·y/4

Area triangolo centrale:

a^2/4

Condizioni:

{a^2/4 - a·x/4 = 2·(a^2/4 - a·y/4)

{1/2·(x + y)·a = a^2 - (a^2/4 - a·x/4 + a^2/4 - a·y/4 + a^2/4)

(seconda condizione: area trapezio a sinistra come differenza )

Risolvi quindi:

{a^2/4 - a·x/4 = a^2/2 - a·y/2

{a·x/2 + a·y/2 = a·x/4 + a·y/4 + a^2/4

ed ottieni:

[x = a/3 ∧ y = 2·a/3]

Non avertene a male, ma dove c'è un parametro solo io lo chiamo k ("a" ha altri usi) e le aree S(diChe).
Nomino anche i segmenti in esame: p = |AP|, q = |DQ|; le due incognite del problema.
Il quadrato ha lato L = k ed area S(ABCD) = k^2.
Le aree S(PBM) = ((k - p)*k/2)/2 ed S(CMQ) = ((k - q)*k/2)/2 dei triangoli rettangoli sono i semiprodotti dei cateti.
L'area S(APQD) = k*(p + q)/2 del trapezio è il prodotto fra altezza e meda delle basi.
S(PMQ) si calcola per differenza
* S(PMQ) = S(ABCD) - (S(APQD) + S(PBM) + S(CMQ)) =
= k^2 - (k*(p + q)/2 + ((k - p)*k/2)/2 + ((k - q)*k/2)/2) = (2*k - (p + q))*k/4
------------------------------
Determinare i punti P e Q, ovvero le lunghezze (p, q), che soddisfacciano ad entrambe le condizioni richieste vuol dire risolvere il sistema dei vincoli che formalizzano le condizioni
* (S(PBM) = 2*S(CMQ)) & (S(PMQ) = k^2/4) & (k > 0) ≡
≡ ((k - p)*k/4 = 2*(k - q)*k/4) & ((2*k - (p + q))*k/4 = k^2/4) & (k > 0) ≡
≡ ((k - p)*k/4 - 2*(k - q)*k/4 = 0) & ((2*k - (p + q))*k/4 - k^2/4 = 0) & (k > 0) ≡
≡ (p - 2*q + k = 0) & (p + q - k= 0) & (k > 0) ≡
≡ (p = k/3) & (q = (2/3)*k) & (k > 0)