Ti ringrazio per quest'opportunità, ho proprio bisogno di pensare un po' ai fatti degli altri perché i fatti miei sono un po' scoraggianti. Vedo questa domanda (appena acceso il PC spento ieri sera alla 22h, una giornataccia da non dirsi!) alle 18h 53', esattamente diciott'ore dopo che l'hai pubblicata. Penso che fra le terapie della sera, la cena, un po' di dopocena e le terapie della notte avrò parecchie occasioni di meditare su somiglianze e differenze fra i tuoi sei esercizi e sul come espòrtele in forma utile. Poi vedrò cosa e come scriverti e penso di riuscire a pubblicarti le risposte entro le 24 ore: del resto, come sempre, scrivo per distrazione e passatempo; tu le soluzioni degli esercizi già le hai avute dall'ottimo @StefanoPescetto (click in su) undici ore fa.
------------------------------
Richiamo qui un po' di cose per i logaritmi.
---------------
La notazione in linea
* log(b, a) = log(base, argomento)
* log(e, a) = ln(a)
* log(b, a) = ln(a)/ln(b)
---------------
E la "formula del Diavolo" (Eulero, ~ 1748)
* e^(i*π) = - 1
da cui il logaritmo di argomento reale negativo
* ln(- k^2) = ln(k^2) + i*π
e la conseguente precisazione che la condizione di esistenza del logaritmo naturale di variabile reale [ln(u)] non è affatto "u > 0", ma solo "u != 0". E' solo quando occorre che la funzione logaritmo abbia valori reali (p.es. nelle disequazioni con diseguaglianza d'ordine) che si deve usare la condizione "u > 0": ma un'equazione può benissimo essere soddisfatta da valori negativi della variabile.
Quindi la condizione di esistenza del logaritmo log(b, a) è
* (b != 0) & (b != 1) & (a != 0)
---------------
Più un po' di proprietà che t'hanno causato sconcerto
* 0 = log(base, 1)
* 1 = log(base, base)
* log(b^n, a) = (1/n)*log(b, a)
* log(1/b, a) = log(b^(- 1), a) = - log(b, a)
==============================
LE EQUAZIONI PROBLEMATICHE
------------------------------
n. 492, dove non riesco ad esprimere 1 nel secondo membro con la base x^2 [1 = log(base, base)].
492) log(x^2, - 2*x + 8) = 1 ≡
≡ log(x^2, - 2*x + 8) = log(x^2, x^2) ≡
≡ - 2*x + 8 = x^2 ≡
≡ x^2 + 2*x - 8 = 0 ≡
≡ (x + 4)*(x - 2) = 0 ≡
≡ (x = - 4) oppure (x = 2)
------------------------------
La 493 sempre nel secondo membro, come va espresso lo zero, visto che la base é log2 [0 = log(base, 1)]?
493) log(2, √(5 - x^2) - x) = 0 ≡
≡ log(2, √(5 - x^2) - x) = log(2, 1) ≡
≡ √(5 - x^2) - x = 1 ≡
≡ x = 1
------------------------------
La 494 se non ci fossero i valori dell'argomento in valore assoluto, penso che la potrei risolvere, ma così mi blocco.
494) log(2, ||x^2 - 3| - 1|) = 1 ≡
≡ log(2, ||x^2 - 3| - 1|) = log(2, 2) ≡
≡ ||x^2 - 3| - 1| = 2 ≡
≡ (|x^2 - 3| - 1 = - 2) oppure (|x^2 - 3| - 1 = 2) ≡
≡ (|x^2 - 3| = - 1) oppure (|x^2 - 3| = 3) ≡
≡ (impossibile) oppure (x = ± √6) oppure (x = 0, doppio) ≡
≡ (x = - √6) oppure (x = √6) oppure (x = 0, due volte)
------------------------------
La 500 mi crea problemi perché la base del primo membro é diversa da quella del secondo ...
500) log(2, x) = log(1/2, 2*x - 1) ≡
≡ log(2, x) = - log(2, 2*x - 1) ≡
≡ log(2, x) + log(2, 2*x - 1) = 0 ≡
≡ log(2, x*(2*x - 1)) = log(2, 1) ≡
≡ x*(2*x - 1) = 1 ≡
≡ x*(2*x - 1) - 1 = 0 ≡
≡ 2*(x + 1/2)*(x - 1) = 0 ≡
≡ (x = - 1/2) oppure (x = 1)
------------------------------
La 501 presenta la stessa problematica della 493; non so come esprimere lo zero nel secondo membro, visto che la base nel primo é log7.
501) log(7, √(2*x + 1) - 1) = 0 ≡
≡ log(7, √(2*x + 1) - 1) = log(7, 1) ≡
≡ √(2*x + 1) - 1 = 1 ≡
≡ √(2*x + 1) = 2 ≡
≡ x = 3/2
------------------------------
Ultima la 507, ho difficoltà perché la base del primo membro non é uguale a quella del secondo e anche qui la formula di cambiamento della base non mi é stata utile. La risposta é x = 5/2.
507) (2/3)*log(4, 2*x - 3) = log(8, 2) ≡
≡ (2/3)*log(2^2, 2*x - 3) = log(2^3, 2) ≡
≡ (2/3)*(1/2)*log(2, 2*x - 3) = (1/3)*log(2, 2) ≡
≡ log(2, 2*x - 3) = log(2, 2) ≡
≡ 2*x - 3 = 2 ≡
≡ x = 5/2
==============================
Ullallà! Sono si e no le 21h 20', e già ho una risposta pubblicabile; dovrò cercare altre domande.
