$\sqrt{6 x+2}-\sqrt{3 x-1}-\sqrt{x+1}=0$
non mi tornano i conti 🤨
$\sqrt{6 x+2}-\sqrt{3 x-1}-\sqrt{x+1}=0$
non mi tornano i conti 🤨
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Livello 1
√(6x + 2) = √(3x - 1) + √(x + 1)
si elevano al quadrato i due m..bri 😉
6x+2 = 3x-1+x+1+2√(3x-1)*(x+1)
2x+2 = 2√(3x^2+3x-x-1)
si ri-elevano al quadrato i due m..bri 😉
4x^2+4+8x = 4(3x^2+2x-1)
8x^2 = 8
x = 1
I TORNI CONTANO 😉🌹
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Genius II
Conviene separare gli addendi a sinistra e a destra e poi elevare al quadrato.
Avremo a destra dell'uguale un quadrato di binomio (a^2 + 2ab + b^2) e sotto radice resterà solo il doppio prodotto.
√(6x + 2) = √(3x - 1) + √(x + 1) ;
[√(6x + 2)]^2 = [√(3x - 1) + √(x + 1)]^2;
6x + 2 = 3x - 1 + x + 1 + 2 * √(3x - 1) * √(x + 1);
resta sotto radice solo il doppio prodotto.
Mettiamo i radicali a sinistra e gli altri termini a destra.
2 * √(3x - 1) * √(x + 1) = 6x + 2 - 3x + 1 - x - 1 ;
2 * √(3x - 1) * √(x + 1) = 2x + 2;
2 * √(3x - 1) * √(x + 1) = 2 * (x + 1);
dividiamo per 2 ed eleviamo di nuovo al quadrato:
[√(3x - 1) * √(x + 1)]^2 = (x + 1)^2;
(3x - 1) * (x + 1) = (x +1)^2;
dividiamo per x + 1:
3x - 1 = x + 1;
3x - x = 1 + 1;
2x = 2;
x = 2/2 = 1.
Ciao @angela_chen.
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Genius II
Ciao
equazione: √(6·x + 2) = √(3·x - 1) + √(x + 1)
C.E.
{6·x + 2 ≥ 0
{3·x - 1 ≥ 0
{x + 1 ≥ 0
Risolvo:
{x ≥ - 1/3
{x ≥ 1/3
{x ≥ -1
C.E. [ x ≥ 1/3 ]
1° elevamento :
6·x + 2 = (√(3·x - 1) + √(x + 1))^2
6·x + 2 = 2·√(x + 1)·√(3·x - 1) + 4·x
2·x + 2 = 2·√(x + 1)·√(3·x - 1)
x + 1 = √(x + 1)·√(3·x - 1)
2° elevamento:
x^2 + 2·x + 1 = 3·x^2 + 2·x - 1
x^2 = 3·x^2 - 2------> 2·x^2 - 2 = 0------> x = -1 ∨ x = 1
x=1 è l'unica soluzione compatibile con le C.E.
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Genius II
Come disse quel tale che era in ritardo «I Conti qualche volta non tornano, ma io sono un Duca!».
Qui ci tocca distinguere fra tre possibilità:
a) quest'equazione è un Duca e i SUOI conti tornano;
b) tu hai sbagliato i TUOI conti;
c) l'Autore dell'esercizio ha messo il risultato atteso ad capitem.
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NOTE PRELIMINARI
1) Poiché le tre radici quadrate sono definite per ogni x, non occorrono le limitazioni di "radicando non negativo" in quanto l'operatore relazionale è l'eguaglianza. Se fosse stato una diseguaglianza ci sarebbe stato da discutere.
2) Poiché la risoluzione è per quadrature successive, e poiché ogni quadratura può introdurre spurie, è d'obbligo alla fine verificare l'accettabilità di ciascuna radice calcolata.
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RISOLUZIONE
* f(x) = √(6*x + 2) - √(3*x - 1) - √(x + 1) = 0 ≡
≡ √(6*x + 2) = √(3*x - 1) + √(x + 1) ≡
≡ 6*x + 2 = (√(3*x - 1) + √(x + 1))^2 = 4*x + 2*√(3*x^2 + 2*x - 1) ≡
≡ (6*x + 2 - 4*x)/2 = √(3*x^2 + 2*x - 1) ≡
≡ 3*x^2 + 2*x - 1 = ((6*x + 2 - 4*x)/2)^2 = x^2 + 2*x + 1 ≡
≡ 3*x^2 + 2*x - 1 - (x^2 + 2*x + 1) = 0 ≡
≡ (x + 1)*(x - 1) = 0 ≡
≡ (x = - 1) oppure (x = 1)
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VERIFICHE
* f(- 1) = √(6*(- 1) + 2) - √(3*(- 1) - 1) - √((- 1) + 1) = 0
* f(+ 1) = √(6*1 + 2) - √(3*1 - 1) - √(1 + 1) = 0
ATTENZIONE
Entrambe le radici (x = ± 1) soddisfanno all'equazione originale e quindi risultano accettabili, anche quella che rende negativi i radicandi delle radici quadrate!
Infatti
* f(- 1) = √(6*(- 1) + 2) - √(3*(- 1) - 1) - √((- 1) + 1) =
= √(- 4) - √(- 4) - √0 =
= 0 - 0 = 0
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Con ciò è dimostrata l'eventualità
c) l'Autore dell'esercizio ha messo il risultato atteso ad capitem.
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Genius I
@exprof scusa, le tre radici non sono definite per ogni x, -1 secondo me non è accettabile. Come faccio a mettere un numero negativo sotto radice? Si può?
√[6 * (- 1) + 2] = √(-4); si può?
Poi quando divido per x - 1, dividerei per 0.
Ciao.
@mg
Ciao anche a te.
Hai scritto un commento ad alta densità, spero di non dover scrivere troppo per risponderti (ho un'inguaribile tendenza a pontificare, e poi mi chiamano palloso!).
Per la parte algebrica faccio riferimento a libri veri (Picone & Fichera, Ghizzetti, ...), non a quelle schifezze che se non fanno abbastanza schifo è vietato adottare.
Del resto ogni trattato per bene inizialmente si dilunga su quella che, nelle eercitazioni nel Liceo dei Gesuiti, si chiamava "declaratio terminorum": Planck dedicò al concetto di "vuoto" le prime 80 pagine del suo "Termodinamica".
Qui il concetto base è quello di "zero": la differenza "Giuseppe - Giuseppe" è indefinita solo se Giuseppe è membro di un insieme per cui zero non ha significato per definizione (mi vengono in mente solo i numeri naturali, per motivi storici; o i conseguenti aggettivi ordinali.); per il resto, che Giuseppe sia una scatola da scarpe, una cartella 24ore, o la radice quadrata di meno quattro, quella differenza sempre zero vale!
Invece è nel caso di disequazione d'ordine che occorre accertarsi che i due membri siano ordinabili: tutt'e due o reali o immaginarii, ma non uno di un tipo e l'altro no, né nessuno complesso.
Perciò mi irrita assai leggere risposte che iniziano con "Per prima cosa si devono stabilire le condizioni di esistenza ...": e no! è solo per ultima cosa che si deve verificare l'attendibilità dei risultati.
TROPPA CHIACCHIERA, VENGO AL DETTAGLIO.
"scusa": ma ti pare! sono ben felice, ci mancherebbe.
"le tre radici non sono definite per ogni x": VERO, se si esplicita la riserva di realtà. FALSO in generale, si tratta di potenze ad esponente razionale non nullo che sono definite per ogni base (reale o no).
"-1 secondo me non è accettabile": e secondo me sì. Anche con la riserva di realtà su dati e risultati, se soddisfà all'equazione originale si accetta; è concettualmente scorretto estendere la riserva a risultati intermedii che potrebbero non esistere (nulla mi vieta di risolvere equazioni per ispezione, ictu oculi: e dovrei essere obbligato a scrivere passaggi intermedii solo per farmeli vietare? Ma neanche i taliban!).
"Come faccio a mettere un numero negativo sotto radice?": non so tu, ma io sotto radice ci metto simboli, mica valori.
"Si può?": Certo che si può, ne ho qui su dato una dimostrazione costruttiva.
"Poi quando divido per x - 1, dividerei per 0.": E NO, QUESTA E' SLEALE!
Io non ho mai diviso nulla, tantomeno per zero (altrimenti avrei aggiunto "& (qualcosa != 0)").
"Ciao": vedi in testa.
@mg
Sono andato a Delfi: la Pizia ha detto che abbiamo ragione tutt'e due.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+%E2%88%9A%286*x%2B2%29-%E2%88%9A%283*x-1%29-%E2%88%9A%28x%2B1%29%3D0+for+x
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+%E2%88%9A%286*x%2B2%29-%E2%88%9A%283*x-1%29-%E2%88%9A%28x%2B1%29%3D0+for+x+over+the+reals
@exprof : nella mia risoluzione ho semplificato per x+1, "io non tu, ho diviso per x + 1" e secondo me avrei diviso per 0, bestialità che la mia collega di matematica con cui ho lavorato a lungo, avrebbe punito con il taglio delle mani! Comunque la Pizia ha parlato? Ciao. Grazie per le spiegazioni utilissime, anche se per me "la fai troppo lunga". Ictu oculi, interessante!
Io cercavo soluzioni reali.
