[Risolto] disequazioni irrazionali

@angela_chen

Ciao. Devi riflettere sulle indicazioni che ti ha dato @mercurio

Abbiamo una disequazione irrazionale contenente un solo radicale quadratico del tipo:

√[f(x)] > g(x)

per la risoluzione, consigliamo (io e @mercurio) di partire da una doppia possibilità per quel che concerne il 2° membro:

a ) Se g(x) è negativo devi assicurare la non negatività del radicando 

b ) se g(x) non è negativo, il segno della disequazione proposta , assicura che i due membri non siano negativi, per cui solo in queste circostanze, è possibile elevare al quadrato entrambi i membri.

Nella sostanza ci si riporta al risolvere 2 sistemi di cui poi devi considerare l'unione delle due soluzioni.

{√3·(3 + 6·x) < 0

{(4·x + 3)^3 ≥ 0

(SISTEMA 1)

{√3·(3 + 6·x) ≥ 0

{(4·x + 3)^3 > (√3·(3 + 6·x))^2

(SISTEMA 2)

Risolviamo il primo:

{x < - 1/2

{x ≥ - 3/4

fornisce soluzione:       [  - 3/4 ≤ x < - 1/2 ]

Risolviamo il secondo:

{x ≥ - 1/2

{x ≠ 0 ∧ x > - 9/16 

fornisce soluzione:  [ x ≠ 0 ∧ x ≥ - 1/2 ]

Quindi, la soluzione della disequazione proposta:

√(4·x + 3)^3 > √3·(3 + 6·x) è data da

[- 3/4 ≤ x < - 1/2] ∪ [x ≠ 0 ∧ x ≥ - 1/2] =  [x ≠ 0 ∧ x ≥ - 3/4]

Imposta i  due sistemi:

{√3(3+6x)<0             {√3(3+6x)>=0 

{(4x+3)^3>=0           {4x+3)^3>(√3(3+6x))^2

Trova le soluzioni di ognuno e poi unisci le soluzioni!

Prova inoltre a riflettere sul perchè proprio questi due sistemi così da imparare meglio. 😉 

In questo caso l'operatore relazionale è una diseguaglianza d'ordine e poiché i complessi non sono ordinabili i due membri, per x reale, devono essere reali.
Quindi s'impone la condizione restrittiva
* (4*x + 3)^3 >= 0 ≡ x >= - 3/4.
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RISOLUZIONE
* (√((4*x + 3)^3) > (√3)*(3 + 6*x)) & (x >= - 3/4) ≡
≡ ((4*x + 3)^3 > ((√3)*(3 + 6*x))^2) & (x >= - 3/4) ≡
≡ (64*x^3 + 144*x^2 + 108*x + 27 > 108*x^2 + 108*x + 27) & (x >= - 3/4) ≡
≡ (64*x^3 + 144*x^2 + 108*x + 27 - (108*x^2 + 108*x + 27) > 0) & (x >= - 3/4) ≡
≡ (4*(16*x + 9)*x^2 > 0) & (x >= - 3/4) ≡
≡ (16*x + 9 > 0) & (x != 0) & (x >= - 3/4) ≡
≡ (x > - 9/16) & (x >= - 3/4) & (x != 0) ≡
≡ (x > - 9/16) & (x != 0)

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AGGIUNTA (dopo 16 ore)
C'è qualcosa che non va nella mia prima equivalenza, che è FALSA
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%28%28%E2%88%9A%28%284*x%2B3%29%5E3%29%3E%28%E2%88%9A3%29*%283%2B6*x%29%29%26%28x%3E%3D-3%2F4%29%29for+x
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%28%28%284*x%2B3%29%5E3%3E%28%28%E2%88%9A3%29*%283%2B6*x%29%29%5E2%29%26%28x%3E%3D-3%2F4%29%29for+x
e ancora nessuno m'ha fatto la cortesia di rivedermi le bucce.
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AVREI VOLUTO CASSARE QUESTA RISPOSTA ELIMINANDOLA, NON SCRIVENDOCI SOPRA "eliminata".