Equazioni goniometriche lineari in seno e coseno

EX. 224

COS(x) + COS(x/2) + 1 = 0

x/2 = α

COS(2·α) + COS(α) + 1 = 0

COS(α)^2 - SIN(α)^2 + COS(α) + 1 = 0

2·COS(α)^2 + COS(α) = 0

COS(α)·(2·COS(α) + 1) = 0

COS(α) = 0------> α = pi/2 + k·pi-----> x = pi·(2·k + 1)

2·COS(α) + 1 = 0------> α = 2·pi/3 + 2·k·pi v α = 4·pi/3 + 2·k·pi

x = 4·pi·k + 4·pi/3 v x = 4·pi·k + 8·pi/3

Ex.232

SIN(4·x)·COS(5·x) = SIN(6·x)·COS(3·x)

pongo:

6·x = α e  5·x = β

quindi: 4·x = α - 2·x e 3·x = β - 2·x

Quindi l'equazione diventa:

SIN(α - 2·x)·COS(β) = SIN(α)·COS(Β - 2·x)

quindi:

(SIN(α)·COS(2·x) - SIN(2·x)·COS(α))·COS(β) =

=SIN(α)·(COS(β)·COS(2·x) + SIN(β)·SIN(2·x))

-----------------------

SIN(α)·COS(β)·COS(2·x) - COS(α)·COS(β)·SIN(2·x) =

=SIN(α)·COS(β)·COS(2·x) + SIN(α)·SIN(β)·SIN(2·x)

---------------------------

- COS(α)·COS(β)·SIN(2·x) = SIN(α)·SIN(β)·SIN(2·x)

-------------------------

(SIN(α)·SIN(β) + COS(α)·COS(β))·SIN(2·x) = 0

COS(α - β)·SIN(2·x) = 0 annullamento di un prodotto

COS(α - β) = 0------->α - β = x

COS(x) = 0-------> x = pi/2 + k·pi 

SIN(2·x) = 0----> 2·x = k·pi------> x = pi·k/2

Non sono lineari.

Per la 224 consiglio la duplicazione

cos x = cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = 2 cos^2(x/2) - 1

per cui sostituendo

2 cos^2(x/2) - 1 + cos x/2 + 1 = 0

cos x/2  * ( 2 cos x/2 + 1 ) = 0

x/2 = TT/2 + k TT =>   x = TT + 2 k TT

cos x/2 = -1/2

x/2 = 2/3 TT + 2 k TT =>  x = 4/3 TT + 4 k TT

x/2 = 4/3 TT + 2 k TT =>  x = 8/3 TT + 4 k TT

per la 232 occorrono le formule di Werner

sin a cos b = 1/2 ( sin (a+b) + sin (a-b) )

1/2 [ sin 9x + sin (-x) ] = 1/2 [ sin 9x + sin 3x ]

sin 3x = - sin x

sin (2x + x) = sin 2x cos x + cos 2x sin x =

= 2 sin x cos^2(x) + (cos^2(x) - sin^2(x)) sin x

per cui trovi

sin x [ 2 cos^2(x) + cos^2(x) - 1 + cos^2(x) ì+ 1 ] = 0

sin x = 0 =>   x = kTT

4 cos^2(x) = 0

cos x = 0 => x = TT/2 + k TT