equazioni fratte secondo grado

Angela, cosa devi fare? Non puoi scrivere qualcosa tu?

prima di affrontare l'equazione parametrica di secondo grado, verifichiamo, essendo fratta, dove è definita.

• C.E. 

denominatore diverso da zero ⇒ x≠ 1.

C.E. = ℝ \ {1}

 

• Soluzioni

k²(x+1)+1 = (x+2kx-k²)/(x-1)

k²(x²-1)+x-1 = x+2kx-k²

k²x² -k² + x -1 = x +2kx-k²

semplificando

k²x²-2kx-1 = 0

Poniamo y=kx

y²-2y-1 = 0

equazione di secondo grado che ammette due soluzioni in y 

y = 1-√2 V y = 1+√2

Per dare le risposte in x, come si deve occorre considerare due casi:

i) Se k = 0 l'equazione diventa 1 = x/(x-1) ⇒ Nessuna soluzione.

ii) Se k ≠ 0 allora

-) y = 1-√2 ⇒ kx = 1-√2  ⇒ x = (1-√2)/k 

per soddisfare il C.E. dovrà  (1-√2)/k ≠ 1  cioè  k ≠ (1-√2)

-) y = 1+√2 ⇒ kx = 1+√2  ⇒ x = (1+√2)/k 

per soddisfare il C.E. dovrà  (1+√2)/k ≠ 1  cioè  k ≠ (1+√2)

 

Conclusione.

• Per k=0 v k=(1-√2) v k=(1+√2) nessuna soluzione.
• per k≠0 ∧ k≠(1-√2)  ∧ k≠(1+√2) si hanno due soluzioni

x = (1-√2)/k V x = (1+√2)/k 

L'equazione
* (x + 1)*k^2 + 1 = (x + 2*k*x - k^2)/(x - 1)
avendo l'incognita in almeno un denominatore è fratta e NON polinomiale.
Non essendo polinomiale, non ha grado.
Non avendo grado, non può essere di secondo grado.
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Ogni equazione razionale fratta (eguaglianza fra rapporti di polinomi in x) equivale a (≡ ha le stesse radici di) un sistema composto da un'equazione razionale intera (eguaglianza fra polinomi in x) e tante disequazioni quante ne occorrono per affermare che nessun denominatore sia zero.
Una volta scritte le disequazioni, la procedura per ottenere l'equazione intera a partire da quella fratta consiste di pochi passi che ti mostro di seguito.
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Dall'equazione fratta
* (x + 1)*k^2 + 1 = (x + 2*k*x - k^2)/(x - 1)
si traggono le disequazioni
* (x - 1 != 0) ≡ (x != 1)
e si trae l'equazione polinomiale ottenuta come segue.
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A) Sottrarre membro a membro il secondo membro.
* (x + 1)*k^2 + 1 = (x + 2*k*x - k^2)/(x - 1) ≡
≡ (x + 1)*k^2 + 1 - (x + 2*k*x - k^2)/(x - 1) = 0
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B) Scrivere la somma algebrica delle frazioni a primo membro ed eliminarne il denominatore che, per la disequazione imposta, non può annullarsi.
* (x + 1)*k^2 + 1 - (x + 2*k*x - k^2)/(x - 1) = 0 ≡
≡ (k^2*x^2 - 2*k*x - 1)/(x - 1) = 0 ≡
≡ (k*x)^2 - 2*(k*x) - 1 = 0
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C) Scrivere e risolvere il sistema equivalente.
* ((k*x)^2 - 2*(k*x) - 1 = 0) (x != 1) ≡
≡ (x = (1 - √2)/k) & (x = (1 + √2)/k) & (k != 0) & (x != 1)