Equazioni differenziali, problemi

a) y" - 4y = 20;

omogenea:

y'' - 4y = 0

λ^2 - 4 = 0;

λ = + - radice(4);

λ1= +2 ;  λ2 = - 2;

y(x) = c1 e^(2x) + c2 e^(-2x)

polinomio:

yp(x) = k

- 4 k = 20 => k = - 20/4;

k = - 5;

y(x) = c1 e^(2x) + c2 e^(-2x) - 5;

b) Estremo relativo in O (0; 0);

y(0) = y'(0) = 0;

y(0) = c1 e^(2 * 0) + c2 e^(-2 * 0) - 5;

c1 + c2 - 5 = 0;

c1 + c2 = 5;

y'(x) = 2 c1 e^(2x) - 2 c2 e^(-2x);

y'(0) = 2c1 - 2c2 = 0;

2 c1 - 2 c2 = 0

c1 - c2 = 0;

c1 = c2

c1 + c2 = 5;

c2 + c2 = 5;

c2 = 5/2; c1 = 5/2

y'(x) = 5/2 [e^(2x) + e^(-2x) ] - 5

a) omogenea associata

y'' - 4y = 0

Essendo u^2 - 4 = 0 => u = -2 V u = 2

yo(x) = C1 e^(2x) + C2 e^(-2x)

Inoltre posto yp(x) = K

- 4 K = 20 => K = -5

y(x) = C1 e^(2x) + C2 e^(-2x) - 5

b) Estremo relativo in O

y(0) = y'(0) = 0

C1 + C2 - 5 = 0

2C1 - 2C2 = 0

C1 + C2 = 5

C1 - C2 = 0

C1 = C2 = 5/2

y*(x) = 5/2 (e^(2x) + e^(-2x) ) - 5

o anche, per chi se lo ricorda,

y*(x) = 5 [ cosh (2x) - 1 ]

c)

Questo é il grafico e lo puoi ottenere studiando la funzione nel modo consueto.

Area --- la svolgo a mano.