Equazioni differenziali, problemi

λ^2 + 4·λ + 4 = 0    eq. caratteristica

(λ + 2)^2 = 0

λ = -2 contata due volte

Integrale generale:

y = e^(- 2·x)·(α·x + β)

con α e β costanti da determinare in base alle condizioni iniziali

y' = α·e^(- 2·x) - 2·e^(- 2·x)·(α·x + β)

{k = e^(- 2·0)·(α·0 + β)----> β = k

{α·e^(- 2·0) - 2·e^(- 2·0)·(α·0 + β) = 1

----------------------

{β = k

{α - 2·β = 1

risolvo: [α = 2·k + 1 ∧ β = k]

Quindi:

y = e^(- 2·x)·((2·k + 1)·x + k)

passa per [1, 0]

0 = e^(- 2·1)·((2·k + 1)·1 + k)

risolvo: k = - 1/3

-----------------------

LIM(((2·k + 1)·x + k)/e^(2·x)) = +∞

x----> -∞

se:

2·k + 1 < 0----> k < - 1/2

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y' = e^(- 2·x)·(2·k + 1) - 2·e^(- 2·x)·(x·(2·k + 1) + k)

per x = 1 : y' =0

e^(- 2·1)·(2·k + 1) - 2·e^(- 2·1)·(1·(2·k + 1) + k) = 0

- e^(-2)·(4·k + 1) = 0

4·k + 1 = 0----> k = - 1/4

y" + 4y' + 4y = 0

λ^2 + 4λ + 4 = 0    polinomio caratteristico dell'equazione;

è un quadrato di binomio:  λ^2 + 4λ + 4 = (λ + 2)^2;

(λ + 2)^2 = 0

λ1 = λ2  = -2 ;

Integrale generale:

y(x) = c1 e^(λ1 x ) + x c2  e^(λ2 x );

y(x) = e ^ (- 2 x) * (c1 + c2 x);

y(0) = k;

c1 e^(- 2 * 0) ) + 0 c2  e^(- 2 * 0) = k;

c1 * 1 = k;

c1 = k;

y(x) = e ^ (- 2 x) * (k + c2 x);

y'(x) = - 2 * e ^ (- 2 x) * (k + c2 x) + e ^ (- 2 x) * c2;

y'(x) = e ^ (- 2 x) * [-2 * (k + c2 x) + c2]

y'(0) = 1;

e ^ (- 2 * 0) * [- 2 * (k + c2 * 0) + c2] = 1;

1 * [- 2 k + c2] = 1

c2 = 1 + 2k;

c1 = k;

y(x) = e ^ (- 2 x) * [k  + (1 + 2k) x];

y(x) = e ^ (- 2 x) * [k  + x + 2 k x];

a)

y(x) deve passare in (1; 0);

0 = e ^ (- 2 * 1) * [k  + 1 + 2 k * 1];

e^(-2) * (3  k + 1) = 0;

1/e^2 * (3  k + 1) = 0;

3 k + 1 = 0;

k = - 1/3;

y(x) = e ^ (- 2 x) * [- 1/3  + x - 2/3 x];

y(x) = e ^ (- 2 x) * [- 1/3  + 1/3 x].

b) y(x) = e ^ (- 2 x) * [k  + x + 2 k x];

y(x) = [k  + x + 2 k x] /e ^ (+ 2 x) = k / e^2x + (2k + 1) /e^2x

lim--->(x ---> - ∞) [y(x)] = +∞;

il denominatore e^(+2x) va a 0 da sinistra, è negativo;

se vogliamo che y(x) vada a + ∞, il numeratore deve essere anch'esso negativo;

k < 0;

(2k + 1) < 0;

k < - 1/2;

deve essere k < - 1/2.

c)

punto stazionario in x = 1, y'(x) = 0;

y(x) = e ^ (- 2 x) * [k  + (1 + 2k) x];

y'(x) = - 2 e^(- 2 x) * [k + (1 + 2 k) x] + e ^ (- 2 x) * (1 + 2k);

per x = 1 ;  y' = 0

- 2 e^(- 2) * [k + (1 + 2 k)] + e ^ (- 2) * (1 + 2k) = 0;

- 2 e^(- 2) * (1 + 3 k) + e ^ (- 2) * (1 + 2k) = 0;

e^(-2) * [ - 2 - 6 k + 1 + 2 k] = 0

e^-2  [- 4 k - 1] = 0;

- 4 k - 1 = 0;

k = - 1/4.

ciao  @alby