[Risolto] Equazioni differenziali, problemi

y" + y' - 2y = 0

λ^2 + λ - 2 = 0    polinomio caratteristico dell'equazione;

λ = [- 1 +- radice(1 + 8)] / 2 = [- 1 +- 3] / 2;

λ1 = (- 1 + 3) /2 = 1; λ2 = (- 1 - 3) / 2 = - 2;

y(x) = c1 e^(λ1 x ) +  c2  e^(λ2 x );

y(x) =c1 e^x + c2 e^(-2x)

y(0) = k;

c1 e^(0) ) +  c2  e^(- 2 * 0) = k;

c1 + c2 = k;

c1 = k - c2;

y'(x) =  c1 e^x - 2 c2 e^(-2x);

y'(0) = 4;

c1 e^0 - 2 c2 e^(-2 * 0) = 4

c1 - 2 c2 = 4;

k - c2 - 2 c2 = 4;

k - 3 c2 = 4;

3 c2 = k - 4;

c2 = (k - 4) / 3;

c1 = k - (k - 4) / 3;

c1 = (3k - k + 4) / 3 = (2k + 4) / 3;

y(x) =  [(2k + 4) / 3] * e^x + [(k - 4) / 3] * e^(-2x);

lim (x ---> + ∞) [[(2k + 4) / 3] * e^x + [(k - 4) / 3] * e^(-2x)] = - ∞;

[(k - 4) / 3] *1/e^(+2x)] va a 0 ;

(2k + 4) / 3] * e^(+∞) ;  va a - ∞ se (2k + 4)  < 0;

k < - 4/2; k < - 2 .

per (x ---> - ∞) [[(2k + 4) / 3] * e^x + [(k - 4) / 3] * e^(-2x)] = + ∞;

(2k + 4) / 3] * e^(- ∞) va a 0;

[(k - 4) / 3] * e^[-2(-∞)] = [(k - 4) / 3] * e^[ + ∞] va a + ∞, se

(k - 4) > 0;

k > 4. 

c)

Asintoto orizzontale se  un limite all'infinito è un numero finito.

k = 4;

k = - 2

Le radici di u^2 + u - 2 = 0

essendo nulla la somma dei coefficienti

sono 1 e C/A = -2

per cui

y(x, C1, C2) = C1 e^x + C2 e^(-2x)

con C1 + C2 = k

e [C1 e^x - 2 C2 e^(-2x)]_(x=0) = 4

C1 + C2 = k

C1 - 2C2 = 4

sottraendo 3 C2 = k - 4

C2 = (k - 4)/3

C1 = k - (k - 4)/3 = (2k + 4)/3

e infine

y(x) = (2 k + 4)/3 e^x + (k - 4)/3 e^(-2x)

a) Quando x ->+ oo il secondo addendo va a 0 qualunque sia k

mentre lim_x->+oo e^x = +oo essendo e > 1.

Quindi occorre e basta che il coefficiente sia negativo

2k + 4 < 0

k < - 2

b) analogamente

quando x->-oo resta solo il secondo addendo (k - 4) * e^(-2x)/3

che tende a +oo in modulo e risulta positivo se k - 4 > 0

ovvero k > 4

c) per avere un asintoto orizzontale occorre che

almeno uno tra i due limiti all'infinito sia finito

per x->-oo il limite é lim_x->+oo (k - 4)/3 e^(2x)

che può non essere infinito solo se k = 4

per x -> +oo il limite é lim_x->+oo (2k + 4)/3 e^x

che può essere finito solo se 2k + 4 = 0 => k = -2

e non ci sono altre possibilità.