[Risolto] Equazioni differenziali

Posto h = 2*10^(-5), k = 5*10^5 

dn/dt = h n (k - n) 

Separando le variabili 

dn/[ n(k - n) ] = h dt 

S( A/n + B/(k - n) ) dn = h S dt 

A(k - n) + Bn = 1

Ak = 1     e  - A + B = 0

da cui A = B = 1/k 

 

1/k S (1/n + 1/(k - n) ) dn = h t + C 

ln n - ln (k - n) = hkt + C     con 0 < n < k 

ln (n/(k - n)) = hkt + C 

n/(k - n) = C e^(hkt) 

n/(k - n) = f 

n = kf - nf 

n + nf = k f

n(1 + f) = kf 

n = k * f/(1 + f) 

n = k C e^(hkt)/(1 + C e^(hkt))

n = k/(1 + C e^(-hkt))

se n(0) = no 

 

no = k/(1 + C)

1 + C = no/k 

C = no/k - 1

 

n(t) = k/(1 + (no/k - 1) e^(-hkt))

 

n(t) = 5*10^5/(1 + no/5*10^5 * e^(-10t)