Il lato di un quadrato ABCD misura 18 cm. Determina sul lato CD un punto P tale che la somma dei quadrati delle sue distanze da A e da B risulti uguale a 828 cm?.
Il lato di un quadrato ABCD misura 18 cm. Determina sul lato CD un punto P tale che la somma dei quadrati delle sue distanze da A e da B risulti uguale a 828 cm?.
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Livello 0
Nel quadrato ABCD di lato L le distanze di P su CD da A e da B sono ipotenuse di un cateto L e dell'altro che è x = |DP| in ADP ed è L - x = |PC| in BCP.
* |AP|^2 = L^2 + x^2
* |BP|^2 = L^2 + (L - x)^2
La somma s(x) dei quadrati delle due distanze è
* s(x) = L^2 + x^2 + L^2 + (L - x)^2 = 2*(x - L/2)^2 + 5*L^2/2 >= s(L/2) = 5*L^2/2
quindi l'equazione
* s(x) = k ≡ x = (L ± √(2*k - 5*L^2))/2
ha
* per k < 5*L^2/2: nessuna radice reale
* per k = 5*L^2/2: una radice reale doppia
* per k > 5*L^2/2: due radici reali distinte
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Con L = 18 cm e k = 828 > 5*L^2/2 = 810 cm^2 si hanno le due posizioni
* x = (18 ± √(2*828 - 5*18^2))/2 = (9 ± 3) ≡ (x = 6) oppure (x = 12)
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